Basi e dimensione di sottospazi definiti da equazioni

L’equazione è una sola e ha rango $1$, quindi per la formula $\dim W=n-\mathrm{rk}A$ della forma cartesiana si ha $\dim W=3-1=2$. Per trovare una base si ricava $x$ in funzione delle variabili libere $y$ e $z$ e si scrive il vettore generico di $W$ raccogliendo $y$ e $z$. I due vettori $(2,1,0)$ e $(-1,0,1)$ generano $W$ e non sono proporzionali, quindi sono indipendenti: formano una base di $W$, che è un piano per l’origine. Il controllo si fa sostituendo nell’equazione: $2-2+0=0$ e $-1-0+1=0$.

La matrice dei coefficienti ha le righe $(1,1,-1,0)$ e $(0,1,1,-1)$, che non sono proporzionali, quindi ha rango $2$ e $\dim W=4-2=2$. Il sistema è già a scala, con pivot sulle variabili $x_1$ e $x_2$, perciò si scelgono come libere $x_3$ e $x_4$. Dalla seconda equazione si ricava $x_2$, poi si sostituisce nella prima e si ricava $x_1$. Raccogliendo $x_3$ e $x_4$ nel vettore generico si ottengono due vettori che generano $W$; sono indipendenti, perché nelle ultime due componenti compaiono $(1,0)$ e $(0,1)$. Quindi formano una base di $W$.

Le equazioni sono tre, ma la riduzione a scala annulla la terza riga: la terza equazione è la somma del doppio della prima e della seconda, quindi non aggiunge condizioni. Il rango è $2$, perciò $\dim W=4-2=2$, e contare le equazioni senza calcolare il rango darebbe una dimensione sbagliata. Dal sistema a scala si ricavano $x_2=-x_4$ e poi $x_1=-x_3$, con $x_3$ e $x_4$ libere. I due vettori ottenuti raccogliendo le variabili libere sono indipendenti, quindi formano una base di $W$.

Si scrive la matrice generica $A$ con quattro incognite e si impone l’uguaglianza $AB=BA$ elemento per elemento. Gli elementi di posto $(2,1)$ coincidono sempre, quindi restano tre equazioni, che si riducono a $c=0$ e $d=a$. Le matrici di $W$ dipendono dunque dai due parametri liberi $a$ e $b$, e raccogliendoli si ottiene $A=a{I}_2+b{E}_{12}$. Le matrici $I_2$ ed $E_{12}$ generano $W$ e non sono proporzionali, perciò formano una base di $W$ e $\dim W=2$. In coordinate rispetto alla base canonica di $M_2(\mathbb{R})$, $W$ è il sottospazio di ${\mathbb{R}}^4$ definito dalle equazioni $c=0$ e $d-a=0$, e la dimensione $4-2=2$ concorda con la formula della forma cartesiana.