Esercizi svolti · Scheda 1

Verifiche di sottospazio con il criterio

Teoria usata: Sottospazio vettoriale Criterio di sottospazio Equazioni omogenee e non omogenee

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Esercizio 1

Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di $R^{3}$ sono sottospazi vettoriali:

W_{1} = {(x, y, z) : 2 x - y + 3 z = 0}, W_{2} = {(x, y, z) : 2 x - y + 3 z = 4} .

W_{1} : 2 \cdot 0 - 0 + 3 \cdot 0 = 0 ⟹ (0, 0, 0) \in W_{1}

2 (u_{1} + v_{1}) - (u_{2} + v_{2}) + 3 (u_{3} + v_{3}) = (2 u_{1} - u_{2} + 3 u_{3}) + (2 v_{1} - v_{2} + 3 v_{3}) = 0 + 0 = 0

2 (λ u_{1}) - λ u_{2} + 3 (λ u_{3}) = λ (2 u_{1} - u_{2} + 3 u_{3}) = λ \cdot 0 = 0

W_{2} : 2 \cdot 0 - 0 + 3 \cdot 0 = 0 \neq = 4 ⟹ (0, 0, 0) \in / W_{2}

Per $W_{1}$ si controllano le tre condizioni del criterio di sottospazio. Il vettore nullo soddisfa l’equazione. Se $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ e $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ stanno in $W_{1}$ , le espressioni $2 u_{1} - u_{2} + 3 u_{3}$ e $2 v_{1} - v_{2} + 3 v_{3}$ valgono $0$ ; poiché il primo membro dell’equazione calcolato in $u + v$ è la somma di queste due espressioni, anche $u + v$ soddisfa l’equazione. Allo stesso modo il primo membro calcolato in $λ u$ è $λ$ volte quello calcolato in $u$ , quindi vale $0$ . Perciò $W_{1}$ è un sottospazio: è il piano per l’origine formato dai vettori ortogonali a $(2, - 1, 3)$ , poiché il primo membro dell’equazione è il prodotto scalare $(2, - 1, 3) \cdot (x, y, z)$ .

L’insieme $W_{2}$ non contiene il vettore nullo, perché in $(0, 0, 0)$ il primo membro vale $0$ e non $4$ . Quindi $W_{2}$ non è un sottospazio: è il piano parallelo a $W_{1}$ che non passa per l’origine.

Esercizio 2

Stabilire se $W = {(x, y) \in R^{2} : y = x^{2}}$ è un sottospazio di $R^{2}$ .

(0, 0) \in W poich \overset{e}{ˊ} 0 = 0^{2}

u = (1, 1) \in W, 2 u = (2, 2), 2 \neq = 2^{2} = 4 ⟹ 2 u \in / W

y = x^{2}

La parabola

y = x^{2}

contiene

u = (1, 1)

e non contiene

2 u = (2, 2)

Il vettore nullo sta in $W$ , quindi la prima condizione del criterio è soddisfatta e non basta a decidere. Si prova la chiusura rispetto al prodotto per scalare con un vettore concreto: $u = (1, 1)$ appartiene a $W$ perché $1 = 1^{2}$ , mentre il suo doppio $(2, 2)$ non vi appartiene, perché $2 \neq = 4$ . Poiché la terza condizione non è soddisfatta, $W$ non è un sottospazio. Un solo controesempio è sufficiente; geometricamente, la parabola non contiene la retta per l’origine e per $u$ .

Esercizio 3

Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di $M_{2} (R)$ sono sottospazi:

W = {A \in M_{2} (R) : tr A = 0}, U = {A \in M_{2} (R) : det A = 0} .

tr O = 0 + 0 = 0 ⟹ O \in W

tr (A + B) = (a_{11} + b_{11}) + (a_{22} + b_{22}) = tr A + tr B = 0

tr (λ A) = λ a_{11} + λ a_{22} = λ tr A = 0

A = (1000) \in U, B = (0001) \in U, det (A + B) = det (1001) = 1 \neq = 0

La traccia della matrice nulla $O$ è $0$ , quindi $O \in W$ . La traccia è additiva e omogenea, cioè $tr (A + B) = tr A + tr B$ e $tr (λ A) = λ tr A$ , come mostrano i calcoli elemento per elemento; perciò se $A$ e $B$ hanno traccia nulla, anche $A + B$ e $λ A$ hanno traccia nulla. Per il criterio di sottospazio $W$ è un sottospazio.

L’insieme $U$ contiene la matrice nulla ed è chiuso rispetto al prodotto per scalare, poiché $det (λ A) = λ^{2} det A$ . La somma invece può uscire da $U$ : le matrici $A$ e $B$ hanno determinante $0$ , mentre la loro somma è l’identità, con determinante $1$ . Quindi $U$ non è un sottospazio.

Esercizio 4

Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di $R_{2} [x]$ sono sottospazi:

W = {p \in R_{2} [x] : p (1) = 0}, U = {p \in R_{2} [x] : p (0) \cdot p (1) = 0} .

p (x) = 0 per ogni x ⟹ p (1) = 0, 0 \in W

(p + q) (1) = p (1) + q (1) = 0 + 0 = 0, (λ p) (1) = λ p (1) = λ \cdot 0 = 0

p (x) = x : p (0) \cdot p (1) = 0 \cdot 1 = 0 ⟹ p \in U

q (x) = x - 1 : q (0) \cdot q (1) = (- 1) \cdot 0 = 0 ⟹ q \in U

(p + q) (x) = 2 x - 1 : (p + q) (0) \cdot (p + q) (1) = (- 1) \cdot 1 = - 1 \neq = 0

Il valore di un polinomio in un punto si comporta in modo lineare: il valore della somma è la somma dei valori, e il valore di $λ p$ è $λ$ volte il valore di $p$ . Quindi il polinomio nullo sta in $W$ e, se $p (1) = q (1) = 0$ , anche $p + q$ e $λ p$ si annullano in $1$ . Per il criterio di sottospazio $W$ è un sottospazio: è formato dai polinomi divisibili per $x - 1$ .

La condizione che definisce $U$ è un prodotto, e il prodotto non è lineare. Il polinomio $p (x) = x$ sta in $U$ perché si annulla in $0$ , e $q (x) = x - 1$ sta in $U$ perché si annulla in $1$ ; la somma $2 x - 1$ vale $- 1$ in $0$ e $1$ in $1$ , quindi il prodotto dei due valori è $- 1 \neq = 0$ . Perciò $U$ non è un sottospazio: è l’unione dei due sottospazi ${p (0) = 0}$ e ${p (1) = 0}$ .