Esercizi svolti · Scheda 2

Calcolo del rango di una matrice

Teoria usata: Minore di una matrice Rango Rango e riduzione a scala Minore orlato Teorema degli orlati (di Kronecker)

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Esercizio 1

Calcolare il rango della matrice

A = 124215 - 1 1 - 1 .

124215 - 1 1 - 1 R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1} R_{3} \to R_{3} - 4 R_{1} 100 2 - 3 - 3 - 1 33 R_{3} \to R_{3} - R_{2} 100 2 - 3 0 - 1 30

rk A = 2

Le operazioni elementari sulle righe non cambiano il rango, quindi si riduce $A$ a scala e si contano i pivot, applicando il teorema su rango e riduzione a scala. Dopo il primo passo la seconda e la terza riga coincidono, e la sottrazione $R_{3} \to R_{3} - R_{2}$ le riduce a una riga nulla. Restano due pivot, $1$ e $- 3$ , perciò $rk A = 2$ . Il risultato è coerente con la definizione: la terza riga di $A$ è $2 R_{1} + R_{2}$ , quindi $det A = 0$ , mentre il minore $1221 = - 3$ è diverso da zero.

Esercizio 2

Calcolare il rango della matrice

A = 120124030111 11 - 1 0 .

A R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1} R_{4} \to R_{4} - R_{1} 100020010111 1 - 1 - 1 - 1 R_{2} \leftrightarrow R_{4} 100021000111 1 - 1 - 1 - 1

R_{4} \to R_{4} - R_{3} 100021000110 1 - 1 - 1 0 ⟹ rk A = 3

Il primo passo annulla la prima colonna sotto il pivot, ma annulla anche l’elemento di $R_{2}$ nella seconda colonna; poiché la quarta riga ha in quella colonna l’elemento $1$ , lo scambio $R_{2} \leftrightarrow R_{4}$ porta un pivot nella posizione giusta. A questo punto la terza e la quarta riga coincidono, e $R_{4} \to R_{4} - R_{3}$ produce una riga nulla. La matrice a scala ha tre pivot, quindi per il teorema su rango e riduzione a scala $rk A = 3$ . Con la sola definizione si sarebbe dovuto verificare che $det A = 0$ e poi cercare un minore non nullo di ordine $3$ tra i sedici possibili; la riduzione dà le due informazioni insieme.

Esercizio 3

Calcolare con il teorema degli orlati il rango della matrice

A = 213101314123 .

M = 2110 = - 1 \neq = 0 (righe 1, 2; colonne 1, 2)

213101314 = 2 (0 - 1) - 1 (4 - 3) + 3 (1 - 0) = 0

213101123 = 2 (0 - 2) - 1 (3 - 6) + 1 (1 - 0) = 0

rk A = 2

Il minore $M$ delle prime due righe e delle prime due colonne vale $- 1$ , quindi $rk A \geq 2$ . Gli orlati di $M$ si ottengono aggiungendo l’unica riga rimasta, la terza, e una delle due colonne rimaste, la terza o la quarta; sono perciò $(3 - 2) (4 - 2) = 2$ . Entrambi, sviluppati lungo la prima riga, valgono $0$ . Per il teorema degli orlati si conclude $rk A = 2$ senza calcolare gli altri due minori di ordine $3$ . Il risultato si spiega osservando che la terza riga di $A$ è la somma delle prime due.

Esercizio 4

Calcolare il rango della matrice

A = 123213101 01 k

al variare del parametro $k \in R$ .

M = 1221 = - 3 \neq = 0 ⟹ rk A \geq 2 per ogni k

123213101 = 1 (1 - 0) - 2 (2 - 0) + 1 (6 - 3) = 0

123213 01 k = 1 (k - 3) - 2 (2 k - 3) + 0 = 3 - 3 k

rk A = {23 se k = 1 se k \neq = 1

Il minore $M$ delle prime due righe e colonne non contiene il parametro e vale $- 3$ , quindi il rango è almeno $2$ per ogni valore di $k$ . Il primo orlato, con la terza colonna, è nullo per ogni $k$ . Il secondo orlato, con la quarta colonna, vale $3 - 3 k$ e si annulla solo per $k = 1$ . Se $k \neq = 1$ , esiste un minore non nullo di ordine $3$ , che è l’ordine massimo per una matrice $3 \times 4$ , perciò $rk A = 3$ . Se $k = 1$ , entrambi gli orlati di $M$ sono nulli e per il teorema degli orlati $rk A = 2$ ; infatti per $k = 1$ la terza riga $(3, 3, 1, 1)$ è la somma delle prime due.