Esercizi svolti · Scheda 3

Compatibilità e numero di soluzioni con il teorema di Rouché-Capelli

Teoria usata: Rango Teorema degli orlati (di Kronecker)Teorema di Rouché-Capelli Scelta delle incognite libere

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Stabilire se il sistema

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 3 x + 2 y - z = 2 2 x + 3 y = 5

è compatibile e, in caso affermativo, determinarne le soluzioni.

det A = 112123 1 - 1 0 = 1 (0 + 3) - 1 (0 + 2) + 1 (3 - 4) = 0, 1112 = 1 \neq = 0

112123325 = 1 (10 - 6) - 1 (5 - 4) + 3 (3 - 4) = 0

rk A = rk (A ∣ b) = 2, n - r = 3 - 2 = 1

z = t ⟹ {x + y = 3 - t x + 2 y = 2 + t ⟹ y = - 1 + 2 t, x = 4 - 3 t

(x, y, z) = (4 - 3 t, - 1 + 2 t, t), t \in R

Il determinante di $A$ è nullo, quindi $rk A < 3$ ; il minore delle prime due righe e delle prime due colonne vale $1$ , perciò $rk A = 2$ . Nella matrice completa gli orlati di questo minore sono due: con la colonna di $z$ si ottiene $det A = 0$ , con la colonna dei termini noti si ottiene ancora $0$ . Per il teorema degli orlati $rk (A ∣ b) = 2$ , e per il teorema di Rouché-Capelli il sistema è compatibile con $\infty^{3 - 2} = \infty^{1}$ soluzioni. Per risolverlo si conservano le due equazioni delle righe del minore, mentre la terza, che è la loro somma, si elimina. L’incognita $z$ non compare nel minore, quindi si pone $z = t$ e si risolve il sistema $2 \times 2$ in $x$ e $y$ : sottraendo la prima equazione dalla seconda si ottiene $y = - 1 + 2 t$ , e la prima dà $x = 3 - t - y = 4 - 3 t$ .

Esercizio 2

Stabilire se il sistema di quattro equazioni in tre incognite

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 x - y + z = 2 2 x + y - z = 1 3 x + y + z = 8

è compatibile e, in caso affermativo, determinarne le soluzioni.

112 1 - 1 1 11 - 1 = 1 (1 - 1) - 1 (- 1 - 2) + 1 (1 + 2) = 6 \neq = 0 ⟹ rk A = 3

1123 1 - 1 11 11 - 1 1 6218 R_{2} \to R_{2} - R_{1} R_{3} \to R_{3} - 2 R_{1}, R_{4} \to R_{4} - 3 R_{1} 1000 1 - 2 - 1 - 2 10 - 3 - 2 6 - 4 - 11 - 10

y = 2, - 2 - 3 z = - 11 ⟹ z = 3, - 4 - 2 z = - 10 ⟹ z = 3

x = 6 - y - z = 1, (x, y, z) = (1, 2, 3)

La matrice $A$ è $4 \times 3$ , quindi $rk A \leq 3$ ; il minore delle prime tre righe vale $6$ , perciò $rk A = 3$ . La matrice completa è quadrata di ordine $4$ e il sistema è compatibile se e solo se il suo rango è ancora $3$ . Al posto di $det (A ∣ b)$ conviene ridurre: dopo il primo passo la seconda riga dà $y = 2$ , la terza dà $z = 3$ e la quarta, con $y = 2$ , dà di nuovo $z = 3$ . Le quattro equazioni hanno quindi una soluzione comune, e per il teorema di Rouché-Capelli i ranghi sono uguali; poiché il rango comune è $3$ , pari al numero delle incognite, la soluzione è unica: $(1, 2, 3)$ . La verifica nella quarta equazione dà $3 + 2 + 3 = 8$ .

Esercizio 3

Stabilire se il sistema

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 1 2 x + 4 y + z = 5 x + 2 y + 2 z = 3

è compatibile.

det A = 0 (la colonna di y \overset{e}{ˋ} il doppio di quella di x), 12 - 1 1 = 3 \neq = 0

rk A = 2

121 - 1 12 153 = 1 (3 - 10) + 1 (6 - 5) + 1 (4 - 1) = - 7 + 1 + 3 = - 3 \neq = 0

rk (A ∣ b) = 3 \neq = rk A

In ogni equazione il coefficiente di $y$ è il doppio di quello di $x$ , quindi le prime due colonne di $A$ sono proporzionali e $det A = 0$ . Il minore delle prime due righe e delle colonne di $x$ e $z$ vale $3$ , perciò $rk A = 2$ . Nella matrice completa l’orlato di questo minore con la terza riga e la colonna dei termini noti vale $- 3$ , quindi la matrice completa ha un minore non nullo di ordine $3$ e $rk (A ∣ b) = 3$ . Poiché i due ranghi sono diversi, per il teorema di Rouché-Capelli il sistema è incompatibile. Il calcolo dei ranghi ha deciso la questione senza cercare le soluzioni.