Esercizi svolti · Scheda 1

Sistemi lineari risolti con il metodo di Gauss

Teoria usata: Operazioni elementari sulle righe Operazioni elementari e sistemi equivalenti Risoluzione di un sistema a scala Metodo di eliminazione di Gauss

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Esercizio 1

Risolvere con il metodo di Gauss il sistema

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = - 1 2 x + y + z = 4 3 x - y + 2 z = 9

123 21 - 1 - 1 12 - 1 49 R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1} R_{3} \to R_{3} - 3 R_{1} 100 2 - 3 - 7 - 1 35 - 1 612

R_{2} \to - \frac{1}{3} R_{2} 100 21 - 7 - 1 - 1 5 - 1 - 2 12 R_{3} \to R_{3} + 7 R_{2} 100210 - 1 - 1 - 2 - 1 - 2 - 2

- 2 z y - z x + 2 y - z = - 2 = - 2 = - 1 ⟹ z = 1 ⟹ y = - 2 + 1 = - 1 ⟹ x = - 1 - 2 (- 1) + 1 = 2

(x, y, z) = (2, - 1, 1)

La prima colonna ha il pivot $1$ in alto, quindi con $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ e $R_{3} \to R_{3} - 3 R_{1}$ si annullano gli elementi sotto di esso; le due operazioni si possono eseguire nello stesso passo perché entrambe usano soltanto la riga $R_{1}$ , che resta invariata. La moltiplicazione $R_{2} \to - \frac{1}{3} R_{2}$ porta il secondo pivot a $1$ ed evita le frazioni nel passo successivo, dove $R_{3} \to R_{3} + 7 R_{2}$ annulla l’elemento $- 7$ . La matrice ottenuta è a scala con tre pivot, uno per ogni incognita, perciò nessuna incognita è libera. La sostituzione all’indietro parte dall’ultima equazione, $- 2 z = - 2$ , e risale fino alla prima. Il sistema è determinato con soluzione $(2, - 1, 1)$ , e la verifica nella terza equazione dà $6 + 1 + 2 = 9$ .

Esercizio 2

Risolvere con il metodo di Gauss il sistema

⎩ ⎨ ⎧ x + y + 2 z = 3 2 x + 3 y + 3 z = 7 x + 2 y + z = 4

121132231374 R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1} R_{3} \to R_{3} - R_{1} 100111 2 - 1 - 1 311 R_{3} \to R_{3} - R_{2} 100110 2 - 1 0 310

z = t, y = 1 + t, x = 3 - (1 + t) - 2 t = 2 - 3 t

(x, y, z) = (2 - 3 t, 1 + t, t), t \in R

Dopo il primo passo la seconda e la terza riga coincidono, quindi $R_{3} \to R_{3} - R_{2}$ produce una riga nulla, che corrisponde all’equazione $0 = 0$ e si elimina. Restano due pivot, nelle colonne di $x$ e di $y$ , mentre la colonna di $z$ non ha pivot; perciò $z$ è un’incognita libera e si pone $z = t$ . La seconda equazione, $y - z = 1$ , dà $y = 1 + t$ , e la prima dà $x = 3 - y - 2 z = 2 - 3 t$ . Il sistema è indeterminato con $\infty^{1}$ soluzioni, una per ogni $t \in R$ . Per $t = 0$ si ottiene la soluzione $(2, 1, 0)$ , che soddisfa la seconda equazione: $4 + 3 + 0 = 7$ .

Esercizio 3

Stabilire con il metodo di Gauss se il sistema

⎩ ⎨ ⎧ x - y + z = 1 2 x + y - z = 2 x + 2 y - 2 z = 3

ha soluzioni.

121 - 1 12 1 - 1 - 2 123 R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1} R_{3} \to R_{3} - R_{1} 100 - 1 33 1 - 3 - 3 102 R_{3} \to R_{3} - R_{2} 100 - 1 30 1 - 3 0 102

0 x + 0 y + 0 z = 2 ⟹ 0 = 2

Dopo il primo passo le righe di $R_{2}$ e $R_{3}$ hanno gli stessi coefficienti delle incognite e termini noti diversi, $0$ e $2$ . La sottrazione $R_{3} \to R_{3} - R_{2}$ annulla i coefficienti e lascia il termine noto $2$ , quindi l’ultima riga ha la forma $(000 ∣ 2)$ e corrisponde all’equazione $0 = 2$ , che nessuna terna soddisfa. Poiché il sistema ridotto è equivalente a quello di partenza, il sistema non ha soluzioni: è incompatibile. Il motivo si legge anche sulle equazioni originali: la somma della prima e della terza dà $2 x + y - z = 4$ , mentre la seconda richiede $2 x + y - z = 2$ .

Esercizio 4

Risolvere con il metodo di Gauss il sistema nelle incognite $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + x_{4} = 1 2 x_{1} + 4 x_{2} - x_{3} + 3 x_{4} = 4 - x_{1} - 2 x_{2} + 3 x_{3} + x_{4} = 3

12 - 1 24 - 2 - 1 - 1 3 131143 R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1} R_{3} \to R_{3} + R_{1} 100200 - 1 12 112124

R_{3} \to R_{3} - 2 R_{2} 100200 - 1 10 110120

x_{2} = s, x_{4} = t, x_{3} = 2 - t

x_{1} = 1 - 2 s + x_{3} - t = 1 - 2 s + (2 - t) - t = 3 - 2 s - 2 t

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (3 - 2 s - 2 t, s, 2 - t, t) = (3, 0, 2, 0) + s (- 2, 1, 0, 0) + t (- 2, 0, - 1, 1), s, t \in R

Il primo passo annulla la prima colonna sotto il pivot e annulla anche la seconda colonna, perché i coefficienti di $x_{2}$ sono il doppio di quelli di $x_{1}$ in ogni equazione. Il pivot della seconda riga si trova quindi nella colonna di $x_{3}$ , e $R_{3} \to R_{3} - 2 R_{2}$ produce una riga nulla. I pivot sono due, nelle colonne di $x_{1}$ e $x_{3}$ , mentre le colonne di $x_{2}$ e $x_{4}$ ne sono prive; perciò le incognite libere sono $x_{2} = s$ e $x_{4} = t$ , e le soluzioni sono $\infty^{4 - 2} = \infty^{2}$ . La seconda equazione, $x_{3} + x_{4} = 2$ , dà $x_{3} = 2 - t$ , e la prima, dopo la sostituzione, dà $x_{1} = 3 - 2 s - 2 t$ . Separando i termini costanti da quelli in $s$ e in $t$ , le soluzioni si scrivono come la soluzione particolare $(3, 0, 2, 0)$ più una combinazione di due vettori fissi.