Equazioni parametriche e cartesiane di rette

La retta per due punti ha come vettore direttore il vettore $\overrightarrow{AB}$, che si ottiene sottraendo le coordinate di $A$ da quelle di $B$. Le equazioni parametriche si scrivono a partire dal punto $A$, aggiungendo a ogni coordinata $t$ volte la componente corrispondente di $\vec{v}$. Per le equazioni cartesiane si elimina il parametro. La seconda equazione dice direttamente $t=y$, quindi sostituendo nella prima e nella terza si ottengono $x=1+2y$ e $z=2-3y$, cioè due piani che contengono la retta. Come verifica, il punto $B=(3,1,-1)$ soddisfa entrambe le equazioni, poiché $3-2-1=0$ e $3-1-2=0$.

La retta è l’intersezione di due piani, e i vettori normali ${\vec{n}}_1=(1,1,-1)$ e ${\vec{n}}_2=(1,-1,2)$ non sono paralleli, quindi il sistema rappresenta davvero una retta. Il vettore direttore è ortogonale a entrambi i vettori normali, perciò si prende $\vec{v}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=(1,-3,-2)$. Per trovare un punto si fissa una coordinata: con $x=0$ il sistema diventa di due equazioni in $y$ e $z$, e sommandole si ottiene $z=3$, quindi $y=2+z=5$. Il punto $(0,5,3)$ e il vettore $\vec{v}$ danno le equazioni parametriche. Come verifica, il punto generico soddisfa entrambe le equazioni per ogni $t$, poiché $t+(5-3t)-(3-2t)=2$ e $t-(5-3t)+2(3-2t)=1$.

Rette parallele hanno vettori direttori paralleli, quindi serve un vettore direttore di $s$. La retta $s$ è data in forma cartesiana, perciò il suo vettore direttore è il prodotto vettoriale dei due vettori normali, $(1,3,5)$. Le equazioni parametriche di $r$ si scrivono con il punto $P$ e lo stesso vettore direttore. Per le equazioni cartesiane si ricava $t=x-1$ dalla prima equazione e lo si sostituisce nelle altre due. Come verifica, il punto $P$ soddisfa le due equazioni, poiché $3-2-1=0$ e $5+1-6=0$, e i vettori normali $(3,-1,0)$ e $(5,0,-1)$ sono entrambi ortogonali a $(1,3,5)$.