Esercizi svolti · Scheda 3

Posizioni reciproche di rette e piani

Teoria usata: Posizione reciproca di una retta e un piano Rette complanari e rette sghembe Criterio di complanarità di due rette Classificazione di due rette

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Esercizio 1

Stabilire la posizione reciproca della retta $r : x = 1 + 2 t$ , $y = - 1 + t$ , $z = 3 t$ rispetto a ciascuno dei piani

π_{1} : 2 x - y + z = 9, π_{2} : x + y - z = 2.

v = (2, 1, 3), A = (1, - 1, 0)

n_{1} \cdot v = (2, - 1, 1) \cdot (2, 1, 3) = 4 - 1 + 3 = 6 \neq = 0

2 (1 + 2 t) - (- 1 + t) + 3 t = 9 ⟹ 3 + 6 t = 9 ⟹ t = 1 ⟹ r \cap π_{1} = {(3, 0, 3)}

n_{2} \cdot v = (1, 1, - 1) \cdot (2, 1, 3) = 2 + 1 - 3 = 0, 1 + (- 1) - 0 = 0 \neq = 2

La posizione reciproca di una retta e un piano si decide con il prodotto scalare tra il vettore direttore della retta e il vettore normale del piano. Per $π_{1}$ il prodotto scalare vale $6$ , quindi la retta e il piano sono incidenti in un solo punto. Per trovarlo si sostituiscono le equazioni parametriche nell’equazione del piano, si ottiene $t = 1$ e il punto $(3, 0, 3)$ , che soddisfa l’equazione di $π_{1}$ poiché $6 - 0 + 3 = 9$ . Per $π_{2}$ il prodotto scalare è nullo, perciò la retta è parallela al piano oppure contenuta in esso. Il punto $A$ di $r$ dà $1 - 1 - 0 = 0$ , valore diverso dal termine noto $2$ , quindi $A \in / π_{2}$ e la retta è parallela a $π_{2}$ e non ha punti in comune con esso.

Esercizio 2

Stabilire la posizione reciproca delle rette

r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = t z = 2 - t s : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + u y = 2 - u z = - 1 + 2 u

e, se sono incidenti, determinare il punto comune.

A = (1, 0, 2), v = (1, 1, - 1), B = (1, 2, - 1), w = (1, - 1, 2)

A B = (0, 2, - 3), v \times w = i 11 j 1 - 1 k - 1 2 = (1, - 3, - 2)

A B \cdot (v \times w) = 0 - 6 + 6 = 0

⎩ ⎨ ⎧ 1 + t = 1 + u t = 2 - u 2 - t = - 1 + 2 u ⟹ t = u = 1 ⟹ r \cap s = {(2, 1, 1)}

I vettori direttori $(1, 1, - 1)$ e $(1, - 1, 2)$ non sono proporzionali, quindi le rette non sono parallele. Per il criterio di complanarità di due rette si calcola il prodotto misto $A B \cdot (v \times w)$ , che risulta nullo; perciò le rette sono complanari, e non essendo parallele sono incidenti. Il punto comune si trova uguagliando le coordinate dei punti generici delle due rette. La prima equazione dà $t = u$ , la seconda diventa $t = 2 - t$ , quindi $t = u = 1$ ; la terza equazione è soddisfatta, poiché $2 - 1 = - 1 + 2$ . Sostituendo $t = 1$ nelle equazioni di $r$ si ottiene il punto $(2, 1, 1)$ .

Esercizio 3

Stabilire la posizione reciproca delle rette

r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 t z = 0 s : {x - z = 0 y = 2

w = (1, 0, - 1) \times (0, 1, 0) = i 10 j 01 k - 1 0 = (1, 0, 1), B = (0, 2, 0) \in s

A = (1, 0, 0), v = (1, 2, 0), A B = (- 1, 2, 0)

A B \cdot (v \times w) = - 1 11 220001 = 1 \cdot - 1 1 22 = - 2 - 2 = - 4 \neq = 0

La retta $s$ è data in forma cartesiana, quindi per prima cosa se ne calcolano un vettore direttore e un punto. Il vettore direttore è il prodotto vettoriale dei vettori normali, $w = (1, 0, 1)$ ; un punto si ottiene ponendo $x = 0$ , che dà $z = 0$ e $y = 2$ . I vettori direttori $(1, 2, 0)$ e $(1, 0, 1)$ non sono paralleli. Il prodotto misto si calcola come determinante della matrice con righe $A B$ , $v$ , $w$ , sviluppato secondo la terza colonna, che ha un solo elemento non nullo. Il determinante vale $- 4 \neq = 0$ , perciò per il criterio di complanarità di due rette le rette sono sghembe.

Esercizio 4

Determinare per quali valori di $k \in R$ le rette

r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = t z = 1 s : ⎩ ⎨ ⎧ x = u y = 1 z = k + u

sono complanari e, per tali valori, determinarne la posizione reciproca.

A = (1, 0, 1), v = (1, 1, 0), B = (0, 1, k), w = (1, 0, 1)

A B \cdot (v \times w) = - 1 11 110 k - 1 01 = - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (k - 1) \cdot (- 1) = - 1 - k

- 1 - k = 0 ⟺ k = - 1

k = - 1 : ⎩ ⎨ ⎧ 1 + t = u t = 1 1 = - 1 + u ⟹ t = 1, u = 2 ⟹ r \cap s = {(2, 1, 1)}

I vettori direttori $(1, 1, 0)$ e $(1, 0, 1)$ non sono paralleli per nessun valore di $k$ , quindi le rette non sono mai parallele. Per il criterio di complanarità di due rette sono complanari se e solo se il prodotto misto è nullo. Il determinante, sviluppato secondo la prima riga, vale $- 1 - k$ , e si annulla solo per $k = - 1$ . Per $k \neq = - 1$ le rette sono quindi sghembe. Per $k = - 1$ le rette sono complanari e non parallele, perciò sono incidenti. Il sistema ottenuto uguagliando le coordinate dà $t = 1$ dalla seconda equazione e $u = 2$ dalla terza, e la prima è soddisfatta, poiché $1 + 1 = 2$ ; il punto comune è $(2, 1, 1)$ .