Esercizi svolti · Scheda 1

Equazioni di piani

Teoria usata: Piano per un punto ortogonale a un vettore Equazione cartesiana del piano Piano per tre punti Parallelismo e perpendicolarità

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Esercizio 1

Scrivere l’equazione del piano passante per $P_{0} = (1, - 2, 3)$ e parallelo al piano $π : 2 x + y - z + 5 = 0$ .

n = (2, 1, - 1)

2 (x - 1) + (y + 2) - (z - 3) = 0

2 x - 2 + y + 2 - z + 3 = 0 ⟹ 2 x + y - z + 3 = 0

Due piani paralleli hanno vettori normali paralleli, quindi il piano cercato ha lo stesso vettore normale di $π$ , che si legge dai coefficienti di $x$ , $y$ , $z$ : $n = (2, 1, - 1)$ . Per l’equazione cartesiana del piano per un punto con vettore normale assegnato si scrive $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ con $(a, b, c) = (2, 1, - 1)$ e $(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (1, - 2, 3)$ . Sviluppando i prodotti si ottiene il piano $2 x + y - z + 3 = 0$ . Come verifica, il punto $P_{0}$ soddisfa l’equazione, poiché $2 - 2 - 3 + 3 = 0$ . Il piano trovato è distinto da $π$ , perché il termine noto $3$ è diverso da $5$ .

Esercizio 2

Scrivere l’equazione del piano passante per i punti $A = (1, 1, 0)$ , $B = (2, 0, 1)$ , $C = (0, 1, 2)$ .

A B = (1, - 1, 1), A C = (- 1, 0, 2)

A B \times A C = i 1 - 1 j - 1 0 k 12 = (- 2 - 0, - 1 - 2, 0 - 1) = (- 2, - 3, - 1)

n = (2, 3, 1)

2 (x - 1) + 3 (y - 1) + z = 0 ⟹ 2 x + 3 y + z - 5 = 0

I vettori $A B$ e $A C$ sono paralleli al piano e non sono paralleli tra loro, poiché le loro componenti non sono proporzionali; perciò i tre punti non sono allineati e il piano per tre punti è unico. Il prodotto vettoriale $A B \times A C$ è ortogonale a entrambi, quindi è un vettore normale al piano. Il risultato $(- 2, - 3, - 1)$ si può sostituire con l’opposto $(2, 3, 1)$ , perché il vettore normale è definito a meno di un fattore non nullo. Scrivendo l’equazione per il punto $A$ si ottiene il piano $2 x + 3 y + z - 5 = 0$ . Come verifica, $B$ e $C$ soddisfano l’equazione, poiché $4 + 0 + 1 - 5 = 0$ e $0 + 3 + 2 - 5 = 0$ .

Esercizio 3

Scrivere l’equazione del piano che contiene la retta $r : x = 1 + t$ , $y = 2 - t$ , $z = 2 t$ e il punto $P = (2, 1, 1)$ .

A = (1, 2, 0) \in r, v = (1, - 1, 2), A P = (1, - 1, 1)

n = v \times A P = i 11 j - 1 - 1 k 21 = (- 1 + 2, 2 - 1, - 1 + 1) = (1, 1, 0)

(x - 1) + (y - 2) = 0 ⟹ x + y - 3 = 0

Per prima cosa si controlla che $P$ non appartenga a $r$ . Le prime due equazioni con $x = 2$ , $y = 1$ danno $t = 1$ , mentre la terza con $z = 1$ dà $t = \frac{1}{2}$ ; quindi $P \in / r$ e il piano che contiene $r$ e $P$ è unico. Il piano contiene il punto $A$ di $r$ , ottenuto per $t = 0$ , ed è parallelo sia al vettore direttore $v$ sia al vettore $A P$ . Questi due vettori non sono paralleli, perciò il loro prodotto vettoriale $(1, 1, 0)$ è un vettore normale. L’equazione per $A$ dà il piano $x + y - 3 = 0$ . Come verifica, il punto generico di $r$ soddisfa l’equazione, poiché $(1 + t) + (2 - t) - 3 = 0$ per ogni $t$ , e anche $P$ la soddisfa, poiché $2 + 1 - 3 = 0$ . Nell’equazione non compare $z$ , quindi il piano è parallelo all’asse $z$ .

Esercizio 4

Scrivere l’equazione del piano passante per $P = (1, 0, - 1)$ e perpendicolare ai due piani $π_{1} : x + y - z = 2$ e $π_{2} : 2 x - y + z = 0$ .

n_{1} = (1, 1, - 1), n_{2} = (2, - 1, 1)

n_{1} \times n_{2} = i 12 j 1 - 1 k - 1 1 = (1 - 1, - 2 - 1, - 1 - 2) = (0, - 3, - 3)

n = (0, 1, 1)

y + (z + 1) = 0 ⟹ y + z + 1 = 0

Due piani sono perpendicolari se e solo se i loro vettori normali sono ortogonali, quindi il vettore normale $n$ del piano cercato deve essere ortogonale sia a $n_{1}$ sia a $n_{2}$ . I vettori $n_{1}$ e $n_{2}$ non sono paralleli, perciò i vettori ortogonali a entrambi sono i multipli del prodotto vettoriale $n_{1} \times n_{2} = (0, - 3, - 3)$ , e si può scegliere $n = (0, 1, 1)$ . Il piano per $P$ con questo vettore normale è $y + z + 1 = 0$ . Come verifica, $n \cdot n_{1} = 0 + 1 - 1 = 0$ e $n \cdot n_{2} = 0 - 1 + 1 = 0$ , e il punto $P$ soddisfa l’equazione, poiché $0 - 1 + 1 = 0$ . Il piano trovato è perpendicolare alla retta intersezione di $π_{1}$ e $π_{2}$ , che ha proprio vettore direttore $n_{1} \times n_{2}$ .