Esercizi svolti · Scheda 2

Proiezioni ortogonali su un vettore e su un sottospazio

Teoria usata: Proiezione ortogonale su un vettore Proiezione ortogonale su un sottospazio Distanza da un sottospazio Dimensione del complemento ortogonale Complemento di un sottospazio in forma cartesiana

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Esercizio 1

Calcolare la proiezione ortogonale di $v = (4, 3)$ sul vettore $u = (1, 2)$ e scrivere $v$ come somma di un vettore parallelo a $u$ e di un vettore ortogonale a $u$ .

⟨ v, u ⟩ = 4 + 6 = 10, ⟨ u, u ⟩ = 1 + 4 = 5

pr_{u} (v) = \frac{10}{5} (1, 2) = (2, 4), v - pr_{u} (v) = (4, 3) - (2, 4) = (2, - 1)

(4, 3) = (2, 4) + (2, - 1), ⟨(2, - 1), (1, 2)⟩ = 2 - 2 = 0

La proiezione

p = (2, 4)

v = (4, 3)

sulla retta generata da

u = (1, 2)

e la componente ortogonale

v - p = (2, - 1)

La proiezione ortogonale di $v$ su $u$ è il multiplo $\frac{⟨ v , u ⟩}{⟨ u , u ⟩} u$ , e il coefficiente vale $2$ . Sottraendo la proiezione da $v$ si ottiene la componente ortogonale $(2, - 1)$ ; il suo prodotto scalare con $u$ è nullo, quindi la decomposizione $v = (2, 4) + (2, - 1)$ ha il primo addendo parallelo a $u$ e il secondo ortogonale a $u$ , come richiesto.

Esercizio 2

Decomporre $v = (2, 3, 1)$ nella somma di un vettore parallelo a $u = (1, 1, 1)$ e di un vettore ortogonale a $u$ .

⟨ v, u ⟩ = 2 + 3 + 1 = 6, ⟨ u, u ⟩ = 3

pr_{u} (v) = \frac{6}{3} (1, 1, 1) = (2, 2, 2), v - pr_{u} (v) = (0, 1, - 1)

(2, 3, 1) = (2, 2, 2) + (0, 1, - 1), ⟨(0, 1, - 1), (1, 1, 1)⟩ = 0

La parte parallela a $u$ è la proiezione ortogonale di $v$ su $u$ , cioè $2 u = (2, 2, 2)$ . La parte ortogonale è la differenza $v - pr_{u} (v) = (0, 1, - 1)$ , e la verifica del prodotto scalare nullo conferma che è ortogonale a $u$ . La decomposizione è unica, perché la proiezione è l’unico multiplo di $u$ che lascia una differenza ortogonale a $u$ .

Esercizio 3

Sia $W = ⟨(1, 1, 1), (1, - 1, 0)⟩ \subseteq R^{3}$ . Calcolare la proiezione ortogonale di $v = (4, 0, - 1)$ su $W$ e la distanza di $v$ da $W$ .

w_{1} = (1, 1, 1), w_{2} = (1, - 1, 0), ⟨ w_{1}, w_{2} ⟩ = 1 - 1 + 0 = 0

⟨ v, w_{1} ⟩ = 4 + 0 - 1 = 3, ⟨ w_{1}, w_{1} ⟩ = 3, ⟨ v, w_{2} ⟩ = 4, ⟨ w_{2}, w_{2} ⟩ = 2

P_{W} (v) = \frac{3}{3} (1, 1, 1) + \frac{4}{2} (1, - 1, 0) = (1, 1, 1) + (2, - 2, 0) = (3, - 1, 1)

v - P_{W} (v) = (1, 1, - 2), d (v, W) = ∥ (1, 1, - 2) ∥ = 1 + 1 + 4 = 6

La formula della proiezione come somma di proiezioni sui generatori vale soltanto per una base ortogonale, quindi il primo passaggio controlla che $w_{1}$ e $w_{2}$ siano ortogonali; il loro prodotto scalare è nullo, perciò il teorema della proiezione ortogonale su un sottospazio si applica direttamente. Si ottiene $P_{W} (v) = (3, - 1, 1)$ . Come controllo, la differenza $(1, 1, - 2)$ ha prodotto scalare nullo sia con $w_{1}$ , poiché $1 + 1 - 2 = 0$ , sia con $w_{2}$ , poiché $1 - 1 + 0 = 0$ . La proiezione è il punto di $W$ più vicino a $v$ , quindi la distanza di $v$ da $W$ è la norma della differenza e vale $6$ .

Esercizio 4

Sia $W = {(x, y, z) \in R^{3} : x + 2 y + 2 z = 0}$ . Calcolare la proiezione ortogonale di $v = (3, 1, 2)$ su $W$ e la distanza di $v$ da $W$ .

W^{⊥} = ⟨ n ⟩, n = (1, 2, 2), ⟨ n, n ⟩ = 9

⟨ v, n ⟩ = 3 + 2 + 4 = 9 ⟹ pr_{n} (v) = \frac{9}{9} (1, 2, 2) = (1, 2, 2)

P_{W} (v) = v - pr_{n} (v) = (3, 1, 2) - (1, 2, 2) = (2, - 1, 0)

d (v, W) = ∥ pr_{n} (v) ∥ = ∥ (1, 2, 2) ∥ = 3

Il piano $W$ è dato in forma cartesiana, quindi il suo complemento ortogonale è generato dalla riga dei coefficienti, cioè dal vettore normale $n = (1, 2, 2)$ . Poiché $R^{3} = W \oplus W^{⊥}$ , il vettore $v$ si scrive in modo unico come somma della sua proiezione su $W$ e della sua proiezione su $W^{⊥}$ ; perciò $P_{W} (v) = v - pr_{n} (v)$ . In questo modo si evita il calcolo di una base ortogonale del piano. Il risultato $(2, - 1, 0)$ appartiene a $W$ , poiché $2 - 2 + 0 = 0$ . La distanza di $v$ da $W$ è la norma di $v - P_{W} (v) = pr_{n} (v)$ , e vale $3$ .