Esercizi svolti · Scheda 1

Norme, angoli e condizioni di ortogonalità tra vettori

Teoria usata: Prodotto scalare standard Norma e distanza Angolo tra due vettori Vettori ortogonali Teorema di Pitagora

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4

Esercizio 1

Dati $u = (2, 1, 1)$ e $v = (1, - 1, 2)$ in $R^{3}$ , calcolare $⟨ u, v ⟩$ , le norme, l’angolo fra $u$ e $v$ e la distanza $d (u, v)$ .

⟨ u, v ⟩ = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) + 1 \cdot 2 = 3

∥ u ∥ = 4 + 1 + 1 = 6, ∥ v ∥ = 1 + 1 + 4 = 6

cos θ = \frac{⟨ u , v ⟩}{∥ u ∥ ∥ v ∥} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ⟹ θ = \frac{π}{3}

d (u, v) = ∥ u - v ∥ = ∥ (1, 2, - 1) ∥ = 1 + 4 + 1 = 6

Il prodotto scalare standard è la somma dei prodotti delle componenti di ugual posto, e la norma è la radice del prodotto scalare di un vettore con sé stesso. Poiché $u$ e $v$ sono non nulli, l’angolo è l’unico $θ \in [0, π]$ con coseno uguale a $\frac{⟨ u , v ⟩}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ ; il quoziente vale $\frac{1}{2}$ , quindi $θ = \frac{π}{3}$ . La distanza è la norma della differenza. I tre lati del triangolo di vertici $0$ , $u$ , $v$ misurano tutti $6$ , perciò il triangolo è equilatero, in accordo con l’angolo di $\frac{π}{3}$ nel vertice $0$ .

Esercizio 2

Determinare $k \in R$ in modo che $u = (k, 1, 2, - 1)$ e $v = (2, k, - 1, 1)$ siano ortogonali in $R^{4}$ . Per il valore trovato, verificare il teorema di Pitagora per $u$ e $v$ .

⟨ u, v ⟩ = 2 k + k - 2 - 1 = 3 k - 3 = 0 ⟹ k = 1

u = (1, 1, 2, - 1), v = (2, 1, - 1, 1), u + v = (3, 2, 1, 0)

∥ u ∥^{2} = 1 + 1 + 4 + 1 = 7, ∥ v ∥^{2} = 4 + 1 + 1 + 1 = 7, ∥ u + v ∥^{2} = 9 + 4 + 1 + 0 = 14

Due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è nullo. Il prodotto scalare di $u$ e $v$ è un polinomio di primo grado in $k$ , che si annulla soltanto per $k = 1$ , quindi i vettori sono ortogonali per $k = 1$ e per nessun altro valore. Per $k = 1$ il teorema di Pitagora afferma che $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2}$ , e il calcolo lo conferma, poiché $14 = 7 + 7$ .

Esercizio 3

Determinare i versori di $R^{3}$ ortogonali sia a $a = (1, 1, 0)$ sia a $b = (1, 0, - 1)$ .

{⟨ x, a ⟩ = x_{1} + x_{2} = 0 ⟨ x, b ⟩ = x_{1} - x_{3} = 0 ⟹ {x_{2} = - x_{1} x_{3} = x_{1}

x = t (1, - 1, 1), t \in R, ∥ (1, - 1, 1) ∥ = 3

x = \frac{1}{3} (1, - 1, 1) oppure x = - \frac{1}{3} (1, - 1, 1)

Un vettore $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ è ortogonale ad $a$ e a $b$ se annulla entrambi i prodotti scalari, quindi le due condizioni formano un sistema omogeneo di due equazioni in tre incognite. Le due equazioni sono indipendenti, perciò le soluzioni dipendono da un parametro e formano la retta generata da $(1, - 1, 1)$ . I versori di questa retta sono i due vettori che si ottengono dividendo $(1, - 1, 1)$ per la sua norma $3$ e prendendo entrambi i versi: $\pm \frac{1}{3} (1, - 1, 1)$ .

Esercizio 4

Determinare $k \in R$ in modo che l’angolo fra $u = (1, 0, 1)$ e $v = (1, k, 0)$ sia $\frac{π}{3}$ .

⟨ u, v ⟩ = 1, ∥ u ∥ = 2, ∥ v ∥ = 1 + k^{2}

\frac{1}{2 1 + k ^{2}} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} ⟺ 2 (1 + k^{2}) = 2

2 (1 + k^{2}) = 4 ⟺ k^{2} = 1 ⟺ k = \pm 1

Il vettore $v$ è non nullo per ogni $k$ , perché la sua prima componente vale $1$ , quindi l’angolo è definito per ogni valore del parametro. Poiché la funzione coseno è iniettiva su $[0, π]$ , l’angolo vale $\frac{π}{3}$ se e solo se il coseno dell’angolo vale $\frac{1}{2}$ . Nell’equazione così ottenuta entrambi i membri sono positivi, perciò elevare al quadrato produce un’equazione equivalente, che si riduce a $k^{2} = 1$ . Il problema ha quindi due soluzioni, $k = 1$ e $k = - 1$ .