Esercizi svolti · Scheda 3

Basi ortonormali con il procedimento di Gram-Schmidt

Teoria usata: Procedimento di Gram-Schmidt Gram-Schmidt nei calcoli Base ortonormale Norma e distanza

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Esercizio 1

Determinare una base ortonormale del sottospazio $W = ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ \subseteq R^{3}$ , con $v_{1} = (1, 1, 0)$ e $v_{2} = (2, 0, 1)$ .

u_{1} = v_{1} = (1, 1, 0), ⟨ v_{2}, u_{1} ⟩ = 2, ⟨ u_{1}, u_{1} ⟩ = 2

u_{2} = v_{2} - \frac{2}{2} u_{1} = (2, 0, 1) - (1, 1, 0) = (1, - 1, 1)

∥ u_{1} ∥ = 2, ∥ u_{2} ∥ = 3

e_{1} = \frac{1}{2} (1, 1, 0), e_{2} = \frac{1}{3} (1, - 1, 1)

I vettori $v_{1}$ e $v_{2}$ non sono proporzionali, quindi sono linearmente indipendenti e il procedimento di Gram-Schmidt si applica. Il primo vettore resta invariato. Al secondo si sottrae la sua proiezione su $u_{1}$ , che è $u_{1}$ stesso perché il coefficiente $\frac{⟨ v _{2} , u _{1} ⟩}{⟨ u _{1} , u _{1} ⟩}$ vale $1$ . Il vettore $u_{2} = (1, - 1, 1)$ è ortogonale a $u_{1}$ , come conferma il prodotto scalare $1 - 1 + 0 = 0$ . Dividendo ciascun vettore per la sua norma si ottiene la base ortonormale ${e_{1}, e_{2}}$ di $W$ .

Esercizio 2

Applicare il procedimento di Gram-Schmidt alla base $v_{1} = (1, 1, 1)$ , $v_{2} = (1, 1, 0)$ , $v_{3} = (1, 0, 0)$ di $R^{3}$ e ottenere una base ortonormale.

u_{1} = (1, 1, 1), ⟨ u_{1}, u_{1} ⟩ = 3

v_{2} - \frac{⟨ v _{2} , u _{1} ⟩}{⟨ u _{1} , u _{1} ⟩} u_{1} = (1, 1, 0) - \frac{2}{3} (1, 1, 1) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{2}{3}) ⟹ u_{2} = (1, 1, - 2)

⟨ v_{3}, u_{1} ⟩ = 1, ⟨ v_{3}, u_{2} ⟩ = 1, ⟨ u_{2}, u_{2} ⟩ = 6

v_{3} - \frac{1}{3} u_{1} - \frac{1}{6} u_{2} = (1, 0, 0) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, - \frac{1}{3}) = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 0) ⟹ u_{3} = (1, - 1, 0)

e_{1} = \frac{1}{3} (1, 1, 1), e_{2} = \frac{1}{6} (1, 1, - 2), e_{3} = \frac{1}{2} (1, - 1, 0)

A ogni passo si sottraggono al vettore successivo le sue proiezioni sui vettori già costruiti. Il vettore ottenuto al secondo passo ha componenti frazionarie, quindi lo si sostituisce con il multiplo $u_{2} = (1, 1, - 2)$ ; la sostituzione è lecita perché la proiezione su un vettore non cambia se il vettore viene moltiplicato per un numero non nullo. Al terzo passo si sottraggono a $v_{3}$ le proiezioni su $u_{1}$ e su $u_{2}$ , e anche qui si sceglie il multiplo intero $u_{3} = (1, - 1, 0)$ . I tre vettori sono a due a due ortogonali, come si verifica con i prodotti scalari $⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ = 0$ , $⟨ u_{1}, u_{3} ⟩ = 0$ , $⟨ u_{2}, u_{3} ⟩ = 0$ . La normalizzazione finale dà la base ortonormale ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ di $R^{3}$ .

Esercizio 3

Determinare una base ortonormale del sottospazio

W = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in R^{4} : x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0} .

v_{1} = (1, - 1, 0, 0), v_{2} = (0, 1, - 1, 0), v_{3} = (0, 0, 1, - 1)

u_{1} = v_{1}, v_{2} - \frac{⟨ v _{2} , u _{1} ⟩}{⟨ u _{1} , u _{1} ⟩} u_{1} = (0, 1, - 1, 0) + \frac{1}{2} (1, - 1, 0, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - 1, 0) ⟹ u_{2} = (1, 1, - 2, 0)

⟨ v_{3}, u_{1} ⟩ = 0, ⟨ v_{3}, u_{2} ⟩ = - 2, ⟨ u_{2}, u_{2} ⟩ = 6

v_{3} - \frac{- 2}{6} u_{2} = (0, 0, 1, - 1) + \frac{1}{3} (1, 1, - 2, 0) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - 1) ⟹ u_{3} = (1, 1, 1, - 3)

e_{1} = \frac{1}{2} (1, - 1, 0, 0), e_{2} = \frac{1}{6} (1, 1, - 2, 0), e_{3} = \frac{1}{2 3} (1, 1, 1, - 3)

Il sottospazio è descritto da un’equazione omogenea in quattro incognite, quindi ha dimensione $4 - 1 = 3$ . I vettori $v_{1}$ , $v_{2}$ , $v_{3}$ soddisfano l’equazione e sono linearmente indipendenti, perché la matrice che li ha in riga è a scala con tre pivot; perciò formano una base di $W$ . Il procedimento di Gram-Schmidt applicato a questa base dà i vettori ortogonali $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , che appartengono ancora a $W$ , poiché la somma delle componenti di ciascuno è nulla. Le norme sono $2$ , $6$ e $12 = 23$ , e la normalizzazione dà la base ortonormale ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ di $W$ .