Esercizi svolti · Scheda 2

Prodotti righe per colonne

Teoria usata: Prodotto righe per colonne Il prodotto colonna per colonna e i sistemi lineari Proprietà del prodotto righe per colonne Matrici che commutano Prodotti notevoli tra matrici

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Esercizio 1

Date le matrici

A = (10 - 1 3 21), B = 21 - 1 104,

calcolare, se definiti, i prodotti $A B$ e $B A$ .

(2 \times 3) \cdot (3 \times 2) = 2 \times 2, (3 \times 2) \cdot (2 \times 3) = 3 \times 3

A B = (2 - 1 - 2 0 + 3 - 1 1 + 0 + 8 0 + 0 + 4) = (- 1 2 94)

B A = 2 + 0 1 + 0 - 1 + 0 - 2 + 3 - 1 + 0 1 + 12 4 + 1 2 + 0 - 2 + 4 = 21 - 1 1 - 1 13 522

Il prodotto $A B$ è definito perché il numero di colonne di $A$ , cioè $3$ , è uguale al numero di righe di $B$ , e il risultato ha tante righe quante $A$ e tante colonne quante $B$ . Il prodotto $B A$ è definito per lo stesso motivo, poiché $B$ ha $2$ colonne e $A$ ha $2$ righe, e il risultato è $3 \times 3$ . Ogni elemento si ottiene moltiplicando una riga del primo fattore per una colonna del secondo: per esempio l’elemento di posto $(1, 2)$ di $A B$ è il prodotto della prima riga $(1, - 1, 2)$ di $A$ per la seconda colonna $(1, 0, 4)$ di $B$ , cioè $1 \cdot 1 + (- 1) \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 9$ . Le due matrici $A B$ e $B A$ hanno dimensioni diverse, quindi sono diverse.

Esercizio 2

Date le matrici

A = (1 - 1 20), B = (03 1 - 2),

stabilire se $A$ e $B$ commutano e confrontare $(A + B)^{2}$ con $A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .

A B = (0 + 6 0 + 0 1 - 4 - 1 + 0) = (60 - 3 - 1), B A = (0 - 1 3 + 2 0 + 0 6 + 0) = (- 1 5 06)

A + B = (12 3 - 2), (A + B)^{2} = (1 + 6 2 - 4 3 - 6 6 + 4) = (7 - 2 - 3 10)

A^{2} = (- 1 - 1 2 - 2), B^{2} = (3 - 6 - 2 7)

A^{2} + 2 A B + B^{2} = (- 1 + 12 + 3 - 1 + 0 - 6 2 - 6 - 2 - 2 - 2 + 7) = (14 - 7 - 6 3) \neq = (A + B)^{2}

I prodotti $A B$ e $B A$ sono entrambi $2 \times 2$ ma hanno elementi diversi, per esempio $(A B)_{11} = 6$ e $(B A)_{11} = - 1$ , quindi $A$ e $B$ non commutano. Per la proprietà distributiva $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ , e questa espressione coincide con $A^{2} + 2 A B + B^{2}$ se e solo se $B A = A B$ . Poiché le due matrici non commutano, la formula del quadrato di un binomio valida per i numeri dà un risultato diverso da $(A + B)^{2}$ , come confermano i calcoli. Il valore di $(A + B)^{2}$ si controlla con la formula corretta: la somma $A^{2} + A B + B A + B^{2}$ ha primo elemento $- 1 + 6 - 1 + 3 = 7$ e, procedendo allo stesso modo, restituisce la matrice $(7 - 2 - 3 10)$ .

Esercizio 3

Data la matrice simmetrica e il vettore

A = 210 1 - 1 3 031, x = 1 - 2 1,

calcolare $A x$ come combinazione lineare delle colonne di $A$ e il numero $x^{T} A x$ .

A x = 1210 - 2 1 - 1 3 + 1031 = 2 - 2 + 0 1 + 2 + 3 0 - 6 + 1 = 06 - 5

x^{T} A x = (1 - 2 1) 06 - 5 = 0 - 12 - 5 = - 17

Il prodotto di $A$ , che è $3 \times 3$ , per il vettore colonna $x$ , che è $3 \times 1$ , è un vettore colonna $3 \times 1$ . Per la lettura del prodotto colonna per colonna, $A x$ è la combinazione lineare delle colonne di $A$ con coefficienti le componenti $1$ , $- 2$ , $1$ di $x$ ; sommando le tre colonne così moltiplicate si ottiene $(0, 6, - 5)$ . Per la proprietà associativa $x^{T} A x = x^{T} (A x)$ , quindi basta moltiplicare il vettore riga $x^{T}$ , che è $1 \times 3$ , per il vettore colonna $A x$ appena trovato. Il risultato è una matrice $1 \times 1$ , cioè il numero $- 17$ . Espressioni di questo tipo sono le forme quadratiche, che si incontrano nello studio delle coniche e delle quadriche.