Esercizi svolti · Scheda 3

Riduzioni a scala per righe

Teoria usata: Operazioni elementari di riga Matrice a scala e pivot Algoritmo di Gauss

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Esercizio 1

Ridurre a scala per righe la matrice

A = 12 - 1 - 1 14 21 - 3

e indicare i pivot.

12 - 1 - 1 14 21 - 3 R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1} R_{3} \to R_{3} + R_{1} 100 - 1 33 2 - 3 - 1

R_{3} \to R_{3} - R_{2} 100 - 1 30 2 - 3 2

pivot: 1, 3, 2 nelle colonne 1, 2, 3

Il primo pivot è l’elemento $a_{11} = 1$ , che è non nullo. Per annullare gli elementi sotto di esso si sottrae alla seconda riga il doppio della prima e si somma la prima alla terza, poiché $2 - 2 \cdot 1 = 0$ e $- 1 + 1 = 0$ . Nella sottomatrice formata dalle ultime due righe il primo elemento non nullo è $3$ , nella seconda colonna, e diventa il secondo pivot; l’operazione $R_{3} \to R_{3} - R_{2}$ annulla l’elemento sotto di esso. La matrice ottenuta è a scala, perché ogni pivot sta strettamente a destra di quello della riga precedente, e ha tre pivot. Una matrice quadrata di ordine $3$ con tre pivot è invertibile per il teorema di Gauss-Jordan.

Esercizio 2

Ridurre a scala per righe la matrice

A = 012214 - 2 22 404

e determinarne la forma a scala ridotta.

A R_{1} \leftrightarrow R_{2} 102124 2 - 2 2 044 R_{3} \to R_{3} - 2 R_{1} 100122 2 - 2 - 2 044

R_{3} \to R_{3} - R_{2} 100120 2 - 2 0 040

R_{2} \to \frac{1}{2} R_{2} 100110 2 - 1 0 020 R_{1} \to R_{1} - R_{2} 100010 3 - 1 0 - 2 20

La prima colonna è non nulla ma il suo primo elemento è $0$ , quindi lo scambio $R_{1} \leftrightarrow R_{2}$ porta in prima riga un elemento non nullo, che diventa il primo pivot. Dopo aver annullato l’elemento $2$ della terza riga, la seconda e la terza riga coincidono, perciò la differenza $R_{3} - R_{2}$ è la riga nulla, che resta in fondo. La forma a scala ha due pivot, nelle colonne $1$ e $2$ . Per arrivare alla forma ridotta si divide la seconda riga per il suo pivot $2$ e poi si annulla l’elemento sopra il secondo pivot con $R_{1} \to R_{1} - R_{2}$ . Nella matrice finale ogni pivot vale $1$ ed è l’unico elemento non nullo della sua colonna, quindi la matrice è a scala ridotta.

Esercizio 3

Ridurre a scala per righe la matrice

A = 121363130252

e determinarne la forma a scala ridotta.

A R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1} R_{3} \to R_{3} - R_{1} 100300 11 - 1 210 R_{3} \to R_{3} + R_{2} 100300110211

R_{2} \to R_{2} - R_{3} 100300110201 R_{1} \to R_{1} - R_{2} - 2 R_{3} 100300010001

Dopo il primo passo la seconda colonna ha elementi nulli sotto la prima riga, quindi nessun pivot si trova nella seconda colonna e il secondo pivot si cerca nella terza: è l’elemento $1$ della seconda riga. L’operazione $R_{3} \to R_{3} + R_{2}$ annulla l’elemento $- 1$ sotto di esso e lascia come primo elemento non nullo della terza riga il numero $1$ nella quarta colonna. La forma a scala ha quindi tre pivot, nelle colonne $1$ , $3$ e $4$ . Tutti i pivot valgono già $1$ , perciò per la forma ridotta resta da annullare gli elementi sopra di essi, procedendo dall’ultimo pivot verso il primo. L’operazione $R_{2} \to R_{2} - R_{3}$ annulla l’elemento sopra il terzo pivot nella seconda riga; l’ultima freccia riassume le due operazioni $R_{1} \to R_{1} - R_{2}$ e $R_{1} \to R_{1} - 2 R_{3}$ , che annullano gli elementi $1$ e $2$ della prima riga nelle colonne $3$ e $4$ . La seconda colonna, che non contiene pivot, resta $(3, 0, 0)$ .