Combinazioni lineari, trasposte e matrici simmetriche

Le matrici $A$ e $B$ hanno entrambe due righe e tre colonne, quindi la combinazione lineare è definita ed è ancora una matrice $2\times 3$. Il prodotto per uno scalare moltiplica ogni elemento, perciò si calcolano prima $3A$ e $-2B$. La somma si esegue poi elemento per elemento, sommando gli elementi che occupano lo stesso posto; per esempio l’elemento di posto $(2,3)$ è $3\cdot (-2)+(-2)\cdot 5=-16$.

La matrice $A$ è $2\times 3$, quindi $A^T$ è $3\times 2$, come $B$; perciò l’equazione ha senso e l’incognita $X$ è una matrice $3\times 2$. Per le proprietà della somma e del prodotto per uno scalare l’equazione si risolve come un’equazione numerica di primo grado: si aggiunge $A^T$ a entrambi i membri e si moltiplica per $\frac{1}{2}$. Nella trasposta la prima riga $(1,0,-2)$ di $A$ diventa la prima colonna di $A^T$ e la seconda riga $(3,1,4)$ diventa la seconda colonna. Il risultato si verifica sostituendo: $2X-A^T$ ha prima riga $(4-1,6-3)=(3,3)$, che è la prima riga di $3B$, e allo stesso modo per le altre righe.

Per le proprietà della trasposta la matrice $A+A^T$ è simmetrica, poiché $(A+A^T{)}^T=A^T+A$, e la matrice $A-A^T$ è antisimmetrica, poiché $(A-A^T{)}^T=A^T-A=-(A-A^T)$; moltiplicando per $\frac{1}{2}$ queste proprietà restano vere. Inoltre $S+K=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}{A}^T+\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}{A}^T=A$, quindi $S$ e $K$ sono le matrici cercate. Nel calcolo la trasposta si ottiene scrivendo le righe di $A$ come colonne. Il risultato si controlla in due modi: $S$ ha gli elementi speculari rispetto alla diagonale uguali e $K$ ha diagonale nulla ed elementi speculari opposti; inoltre la somma $S+K$ restituisce $A$, per esempio $s_{23}+k_{23}=1+5=6=a_{23}$.