Esercizi svolti · Scheda 2

Determinanti con lo sviluppo di Laplace

Teoria usata: Minore complementare e complemento algebrico Determinante di ordine n Teorema di Laplace

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Esercizio 1

Calcolare il determinante di

A = 204531 - 1 02 .

det A = a_{22} C_{22} = 3 \cdot (- 1)^{2 + 2} 24 - 1 2

24 - 1 2 = 4 - (- 4) = 8

det A = 3 \cdot 8 = 24

La seconda riga contiene due zeri, quindi per il teorema di Laplace conviene sviluppare lungo questa riga, poiché i termini $a_{21} C_{21}$ e $a_{23} C_{23}$ sono nulli e resta il solo termine $a_{22} C_{22}$ . Il complemento algebrico $C_{22}$ ha segno $(- 1)^{4} = + 1$ e si ottiene cancellando dalla matrice la seconda riga e la seconda colonna. Il determinante di ordine $2$ che rimane vale $8$ , perciò $det A = 24$ .

Esercizio 2

Calcolare il determinante di

A = 130202002141 - 1 013 .

det A = a_{22} C_{22} = 2 \cdot (- 1)^{2 + 2} 102241 - 1 13

102241 - 1 13 = 1 \cdot (- 1)^{1 + 1} 4113 + 2 \cdot (- 1)^{3 + 1} 24 - 1 1 = 1 \cdot (12 - 1) + 2 \cdot (2 + 4) = 11 + 12 = 23

det A = 2 \cdot 23 = 46

La seconda colonna ha un solo elemento non nullo, $a_{22} = 2$ , quindi lo sviluppo lungo la seconda colonna si riduce a un solo determinante di ordine $3$ , con segno $(- 1)^{2 + 2} = + 1$ . Cancellando la seconda riga e la seconda colonna restano le righe $1$ , $3$ , $4$ e le colonne $1$ , $3$ , $4$ di $A$ . Il determinante di ordine $3$ si sviluppa a sua volta lungo la prima colonna, che contiene uno zero, quindi restano due termini, entrambi con segno $+$ , poiché $1 + 1$ e $3 + 1$ sono pari. La somma dei due termini è $23$ , perciò $det A = 46$ .

Esercizio 3

Calcolare il determinante di

A = 301212400050 20 - 1 1 .

det A = a_{22} C_{22} = 2 \cdot (- 1)^{2 + 2} 312050 2 - 1 1

312050 2 - 1 1 = 5 \cdot (- 1)^{2 + 2} 3221 = 5 \cdot (3 - 4) = - 5

det A = 2 \cdot (- 5) = - 10

La seconda riga ha tre zeri, quindi lo sviluppo lungo questa riga lascia il solo termine $a_{22} C_{22}$ , con segno $+$ . La matrice di ordine $3$ che si ottiene cancellando la seconda riga e la seconda colonna di $A$ ha a sua volta due zeri nella seconda colonna, perciò si sviluppa lungo quella colonna e resta l’elemento $5$ , in posizione $(2, 2)$ della matrice ridotta, con segno $+$ . Il determinante di ordine $2$ finale vale $- 1$ , quindi $det A = - 10$ . La scelta di una riga o colonna con molti zeri a ogni passo riduce il calcolo di un determinante di ordine $4$ a un solo determinante di ordine $2$ .