Matrici inverse con i complementi algebrici

Per il criterio di invertibilità una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Poiché $\det A=5$, la matrice $A$ è invertibile; poiché $\det B=0$, la matrice $B$ non è invertibile, in accordo con il fatto che la seconda riga di $B$ è $\frac{3}{2}$ volte la prima. Per l’inversa di ordine $2$ si scambiano gli elementi della diagonale principale, $2$ e $4$, si cambia segno agli elementi $3$ e $1$ e si divide per il determinante. Il prodotto $A{A}^{-1}=I_2$ conferma il risultato.

La terza colonna di $A$ ha un solo elemento non nullo, quindi il determinante si calcola sviluppando lungo quella colonna; il segno del complemento algebrico in posizione $(2,3)$ è $-1$, e il risultato è $\det A=1$. Poiché $\det A\ne 0$, la matrice è invertibile e si applica la formula dell’inversa. Ogni complemento algebrico $C_{ij}$ è il determinante della matrice ottenuta cancellando la riga $i$ e la colonna $j$, con il segno della scacchiera. I complementi si dispongono nella matrice $\mathrm{cof}A$, che va trasposta, cioè la prima riga di $\mathrm{cof}A$ diventa la prima colonna di $A^{-1}$. Dato che $\det A=1$, non resta alcuna divisione. Il prodotto della prima riga di $A$ per le colonne di $A^{-1}$ dà $(1,0,0)$, e le altre righe si controllano allo stesso modo.

Il determinante si calcola con la regola di Sarrus: le diagonali verso destra danno $1\cdot 1\cdot 1+0\cdot 3\cdot 0+2\cdot 2\cdot 1=5$, quelle verso sinistra danno $2\cdot 1\cdot 0+1\cdot 3\cdot 1+0\cdot 2\cdot 1=3$, quindi $\det A=2$ e la matrice è invertibile. Si calcolano i nove complementi algebrici con i segni a scacchiera e si scrive la trasposta di $\mathrm{cof}A$, cioè la matrice che nella riga $i$ ha $C_{1i}$, $C_{2i}$, $C_{3i}$. Dividendo per $2$ si ottiene $A^{-1}$. Il controllo sulla seconda riga di $A$ e la seconda colonna di $A^{-1}$ dà $2\cdot 1+1\cdot \frac{1}{2}+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=1$, come richiesto dall’elemento $(2,2)$ di $I_3$.