Determinanti di ordine 2 e 3 con la regola di Sarrus

Per una matrice di ordine $2$ il determinante è il prodotto della diagonale principale meno il prodotto della diagonale secondaria. Nel primo caso il secondo prodotto è $(-3)\cdot 2=-6$, e sottrarlo equivale a sommare $6$, quindi il determinante è $26$. Nel secondo caso i prodotti sono $\frac{1}{2}\cdot 4=2$ e $3\cdot \frac{1}{3}=1$, quindi il determinante è $1$. Nel terzo caso il prodotto della diagonale secondaria è il prodotto notevole $(a+1)(a-1)=a^2-1$; poiché i termini $a^2$ si cancellano, il determinante vale $1$ ed è indipendente da $a$.

Si ricopiano a destra della matrice le prime due colonne, così che ogni diagonale contenga tre elementi. Le tre diagonali che scendono verso destra partono da $a_{11}=2$, $a_{12}=1$, $a_{13}=3$ e danno i prodotti $40$, $1$ e $0$, con somma $41$. Le tre diagonali che scendono verso sinistra partono da $a_{13}=3$ e dalle due colonne ricopiate, e danno i prodotti $12$, $4$ e $0$, con somma $16$. Il determinante è la differenza tra le due somme, quindi $\det A=25$.

Lo schema è lo stesso dell’esercizio precedente; con i numeri negativi conviene determinare il segno di ogni prodotto prima di sommare. Il prodotto $(-2)\cdot (-1)\cdot (-3)$ ha tre fattori negativi, quindi è negativo e vale $-6$. La somma delle diagonali verso destra è $20$, quella delle diagonali verso sinistra è $-21$. Poiché si sottrae un numero negativo, il risultato è $20+21$, cioè $\det A=41$.

Il triangolo ha due lati uscenti da $P$, rappresentati dai vettori $u=Q-P$ e $v=R-P$. Il parallelogramma costruito su $u$ e $v$ ha area uguale al valore assoluto del determinante della matrice che ha $u$ e $v$ come righe, cioè $11$. La diagonale $QR$ divide il parallelogramma in due triangoli uguali, quindi l’area del triangolo $PQR$ è $\frac{11}{2}$. Il determinante è positivo perché la rotazione più breve che porta $u$ su $v$ è antioraria; l’area però si calcola con il valore assoluto, e l’ordine dei vettori non cambia il risultato.