Esercizi svolti · Scheda 3

Riduzioni a forma canonica con rotazione e traslazione

Teoria usata: Rototraslazione La matrice dopo una rototraslazione Forma canonica delle coniche a centro Procedura di riduzione Assi di simmetria Asintoti di un'iperbole

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Esercizio 1

Determinare una rotazione che porta la conica

5 x^{2} + 6 x y + 5 y^{2} - 8 = 0

in forma canonica, la forma canonica e gli assi di simmetria.

A_{0} = (5335), p_{A_{0}} (λ) = λ^{2} - 10 λ + 16 = (λ - 2) (λ - 8)

V_{2} = ⟨(1, - 1)⟩, V_{8} = ⟨(1, 1)⟩, R = \frac{1}{2} (1 - 1 11), det R = 1

x = \frac{X + Y}{2}, y = \frac{- X + Y}{2}

5 (x^{2} + y^{2}) + 6 x y - 8 = 5 (X^{2} + Y^{2}) + 3 (Y^{2} - X^{2}) - 8 = 2 X^{2} + 8 Y^{2} - 8

\frac{X ^{2}}{4} + Y^{2} = 1

Ellisse di centro l’origine, semiassi $2$ e $1$ ; asse maggiore $y = - x$ , asse minore $y = x$ .

La conica non ha termini di primo grado, quindi il centro è l’origine e basta una rotazione. Gli autovalori di $A_{0}$ sono $2$ e $8$ . Per $λ = 2$ la matrice $A_{0} - 2 I$ , con $I$ matrice identità, ha righe uguali a $(3, 3)$ , quindi l’autospazio è dato da $x + y = 0$ ed è generato da $(1, - 1)$ ; per $λ = 8$ le righe sono $(- 3, 3)$ e $(3, - 3)$ , e l’autospazio è generato da $(1, 1)$ . Normalizzando i due autovettori si ottengono le colonne di $R$ , che ha determinante $\frac{1 + 1}{2} = 1$ . Nella sostituzione $x^{2} + y^{2} = X^{2} + Y^{2}$ , perché la rotazione conserva le distanze dall’origine, e $x y = \frac{Y ^{2} - X ^{2}}{2}$ . L’equazione diventa $2 X^{2} + 8 Y^{2} = 8$ , cioè l’ellisse $\frac{X ^{2}}{4} + Y^{2} = 1$ . Il semiasse $2$ sta sull’asse $X$ , che ha la direzione di $(1, - 1)$ , quindi l’asse maggiore è la retta $y = - x$ e l’asse minore è $y = x$ .

Esercizio 2

Ridurre a forma canonica la conica

17 x^{2} + 12 x y + 8 y^{2} - 22 x + 4 y - 7 = 0,

scrivendo la rototraslazione e le equazioni degli assi.

A_{0} = (17668), I_{2} = 136 - 36 = 100, p_{A_{0}} (λ) = λ^{2} - 25 λ + 100 = (λ - 5) (λ - 20)

V_{5} = ⟨(1, - 2)⟩, V_{20} = ⟨(2, 1)⟩

{17 x + 6 y - 11 = 0 6 x + 8 y + 2 = 0 ⟹ (x_{0}, y_{0}) = (1, - 1), f (1, - 1) = 17 - 12 + 8 - 22 - 4 - 7 = - 20

(x y) = \frac{1}{5} (1 - 2 21) (X Y) + (1 - 1)

5 X^{2} + 20 Y^{2} - 20 = 0 ⟹ \frac{X ^{2}}{4} + Y^{2} = 1

asse maggiore: 2 x + y - 1 = 0, asse minore: x - 2 y - 3 = 0

Ellisse di centro $(1, - 1)$ e semiassi $2$ e $1$ .

L'ellisse

17 x^{2} + 12 x y + 8 y^{2} - 22 x + 4 y - 7 = 0

con gli assi

2 x + y - 1 = 0

x - 2 y - 3 = 0

(tratteggiati), che si incontrano nel centro

(1, - 1)

Si calcolano autovalori e autovettori di $A_{0}$ . Per $λ = 5$ la matrice $A_{0} - 5 I$ ha prima riga $(12, 6)$ , quindi l’autospazio è $2 x + y = 0$ , generato da $(1, - 2)$ ; per $λ = 20$ la prima riga è $(- 3, 6)$ , l’autospazio è $x - 2 y = 0$ , generato da $(2, 1)$ . I due vettori hanno norma $5$ , e la matrice con colonne $\frac{( 1 , - 2 )}{5}$ e $\frac{( 2 , 1 )}{5}$ ha determinante $\frac{1 + 4}{5} = 1$ , quindi è una rotazione. Il centro si trova con il sistema del centro: dalla seconda equazione $x = \frac{- 8 y - 2}{6}$ , e la soluzione è $(1, - 1)$ , che si verifica sostituendo in entrambe le equazioni. Il polinomio calcolato nel centro vale $- 20$ , e per la forma canonica delle coniche a centro l’equazione nelle nuove coordinate è $5 X^{2} + 20 Y^{2} - 20 = 0$ . Come controllo, $I_{3} = I_{2} \cdot f (1, - 1) = - 2000$ , che coincide con $det A$ . Gli assi sono le rette per il centro con le direzioni degli autovettori: con direzione $(1, - 2)$ si ottiene $2 x + y - 1 = 0$ , che contiene il semiasse $2$ ed è quindi l’asse maggiore; con direzione $(2, 1)$ si ottiene $x - 2 y - 3 = 0$ .

Esercizio 3

Ridurre a forma canonica la conica

3 x^{2} - 8 x y - 3 y^{2} + 2 x + 14 y - 13 = 0

e scrivere le equazioni degli assi e degli asintoti.

A = 3 - 4 1 - 4 - 3 7 17 - 13, I_{2} = - 9 - 16 = - 25, I_{1} = 0

{3 x - 4 y + 1 = 0 - 4 x - 3 y + 7 = 0 ⟹ (x_{0}, y_{0}) = (1, 1), f (1, 1) = 3 - 8 - 3 + 2 + 14 - 13 = - 5

I_{3} = I_{2} \cdot f (1, 1) = 125, p_{A_{0}} (λ) = λ^{2} - 25 ⟹ λ_{1} = 5, λ_{2} = - 5

V_{5} = ⟨(2, - 1)⟩, V_{- 5} = ⟨(1, 2)⟩, (x y) = \frac{1}{5} (2 - 1 12) (X Y) + (11)

5 X^{2} - 5 Y^{2} - 5 = 0 ⟹ X^{2} - Y^{2} = 1

assi: x + 2 y - 3 = 0, 2 x - y - 1 = 0

f (x, y) - f (1, 1) = 3 x^{2} - 8 x y - 3 y^{2} + 2 x + 14 y - 8 = (3 x + y - 4) (x - 3 y + 2)

Iperbole equilatera di centro $(1, 1)$ , forma canonica $X^{2} - Y^{2} = 1$ , asintoti $3 x + y - 4 = 0$ e $x - 3 y + 2 = 0$ .

L'iperbole equilatera

3 x^{2} - 8 x y - 3 y^{2} + 2 x + 14 y - 13 = 0

con gli asintoti

3 x + y - 4 = 0

x - 3 y + 2 = 0

(tratteggiati), perpendicolari e incidenti nel centro

(1, 1)

Poiché $I_{2} = - 25 < 0$ e $I_{1} = 0$ , la conica, se non è degenere, è un’iperbole equilatera. Il centro risolve il sistema del centro: moltiplicando la prima equazione per $4$ e la seconda per $3$ e sommando si ottiene $- 25 y + 25 = 0$ , quindi $y = 1$ e $x = 1$ . Il valore del polinomio nel centro è $- 5$ , quindi $I_{3} = I_{2} \cdot (- 5) = 125 \neq = 0$ e la conica è davvero non degenere. Gli autovalori sono $\pm 5$ ; l’autospazio di $5$ è $x + 2 y = 0$ , generato da $(2, - 1)$ , quello di $- 5$ è $2 x - y = 0$ , generato da $(1, 2)$ , e la matrice con queste colonne normalizzate ha determinante $\frac{4 + 1}{5} = 1$ . La forma canonica è $5 X^{2} - 5 Y^{2} = 5$ , cioè $X^{2} - Y^{2} = 1$ . Gli assi sono le rette per $(1, 1)$ con direzioni $(2, - 1)$ e $(1, 2)$ ; la prima, $x + 2 y - 3 = 0$ , è l’asse trasverso. Per gli asintoti si usa la regola $f (x, y) - f (x_{0}, y_{0}) = 0$ : il polinomio $3 x^{2} - 8 x y - 3 y^{2} + 2 x + 14 y - 8$ si scompone nel prodotto $(3 x + y - 4) (x - 3 y + 2)$ , come si verifica sviluppando. I due asintoti hanno vettori normali $(3, 1)$ e $(1, - 3)$ , ortogonali, in accordo con il fatto che l’iperbole è equilatera.