Esercizi svolti · Scheda 2

Forme canoniche di coniche a centro

Teoria usata: Forma canonica delle coniche a centro Centro di una conica Classificazione delle coniche non degeneri Invarianti ortogonali Assi di simmetria

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Esercizio 1

Determinare il centro e la forma canonica della conica

x^{2} + 4 y^{2} - 2 x + 16 y + 13 = 0.

x^{2} - 2 x + 4 y^{2} + 16 y + 13 = (x - 1)^{2} - 1 + 4 (y + 2)^{2} - 16 + 13 = (x - 1)^{2} + 4 (y + 2)^{2} - 4

X = x - 1, Y = y + 2 ⟹ X^{2} + 4 Y^{2} = 4 ⟹ \frac{X ^{2}}{4} + Y^{2} = 1

I_{3} = - 16, I_{2} = 4, \frac{I _{3}}{I _{2}} = - 4

Ellisse di centro $(1, - 2)$ e semiassi $2$ e $1$ , con forma canonica $\frac{X ^{2}}{4} + Y^{2} = 1$ .

Nell’equazione manca il termine in $x y$ , quindi $A_{0}$ è già diagonale e non serve alcuna rotazione. Si completano i quadrati: $x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$ e $4 y^{2} + 16 y = 4 (y + 2)^{2} - 16$ . Sommando i termini noti, l’equazione diventa $(x - 1)^{2} + 4 (y + 2)^{2} = 4$ , e la traslazione che porta l’origine in $(1, - 2)$ dà $X^{2} + 4 Y^{2} = 4$ . Dividendo per $4$ si ottiene l’ellisse con semiasse $2$ lungo l’asse $X$ e semiasse $1$ lungo l’asse $Y$ . Il risultato concorda con la forma canonica delle coniche a centro: gli autovalori di $A_{0}$ sono $1$ e $4$ e $\frac{I _{3}}{I _{2}} = - 4$ , quindi la forma canonica è $X^{2} + 4 Y^{2} - 4 = 0$ .

Esercizio 2

Determinare il centro, la forma canonica e i semiassi della conica

2 x^{2} + 4 x y + 5 y^{2} - 6 y - 3 = 0.

A = 220 25 - 3 0 - 3 - 3, I_{3} = 2 \cdot (- 15 - 9) - 2 \cdot (- 6 - 0) = - 36, I_{2} = 6, I_{1} = 7

p_{A_{0}} (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6 = (λ - 1) (λ - 6) ⟹ λ_{1} = 1, λ_{2} = 6

{2 x + 2 y = 0 2 x + 5 y - 3 = 0 ⟹ (x_{0}, y_{0}) = (- 1, 1)

X^{2} + 6 Y^{2} - 6 = 0 ⟹ \frac{X ^{2}}{6} + Y^{2} = 1

V_{1} = ⟨(2, - 1)⟩, V_{6} = ⟨(1, 2)⟩

Ellisse reale di centro $(- 1, 1)$ , semiassi $6$ e $1$ ; l’asse maggiore è la retta $x + 2 y - 1 = 0$ .

L'ellisse

2 x^{2} + 4 x y + 5 y^{2} - 6 y - 3 = 0

, di centro

(- 1, 1)

, con l'asse maggiore

x + 2 y - 1 = 0

(tratteggiato)

Poiché $I_{3} = - 36 \neq = 0$ e $I_{2} = 6 > 0$ con $I_{1} I_{3} < 0$ , la conica è un’ellisse reale. Gli autovalori di $A_{0}$ sono le radici del polinomio caratteristico, cioè $1$ e $6$ . Il centro risolve il sistema del centro: dalla prima equazione $x = - y$ , e sostituendo nella seconda si ottiene $3 y = 3$ , quindi $y = 1$ e $x = - 1$ . Per la forma canonica delle coniche a centro il termine noto è $\frac{I _{3}}{I _{2}} = - 6$ , e l’equazione canonica è $X^{2} + 6 Y^{2} = 6$ ; dividendo per $6$ si leggono i semiassi $6$ e $1$ . Il semiasse $6$ corrisponde all’autovalore $1$ , quindi l’asse maggiore è la retta per $(- 1, 1)$ con direzione $(2, - 1)$ , cioè $x + 2 y - 1 = 0$ . Come controllo, il polinomio calcolato nel centro vale $2 - 4 + 5 - 6 - 3 = - 6$ , uguale a $\frac{I _{3}}{I _{2}}$ .

Esercizio 3

Determinare il centro e la forma canonica della conica

x^{2} + 6 x y + y^{2} + 4 x - 4 y - 8 = 0.

A = 132 31 - 2 2 - 2 - 8

I_{3} = 1 \cdot (- 8 - 4) - 3 \cdot (- 24 + 4) + 2 \cdot (- 6 - 2) = - 12 + 60 - 16 = 32

I_{2} = 1 - 9 = - 8, p_{A_{0}} (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 = (λ - 4) (λ + 2)

{x + 3 y + 2 = 0 3 x + y - 2 = 0 ⟹ (x_{0}, y_{0}) = (1, - 1), \frac{I _{3}}{I _{2}} = - 4

4 X^{2} - 2 Y^{2} - 4 = 0 ⟹ X^{2} - \frac{Y ^{2}}{2} = 1

Iperbole di centro $(1, - 1)$ , con forma canonica $X^{2} - \frac{Y ^{2}}{2} = 1$ .

Il determinante di $A$ vale $32$ e $I_{2} = - 8 < 0$ , quindi la conica è un’iperbole. Gli autovalori di $A_{0}$ sono $4$ e $- 2$ , discordi come deve essere. Il centro si ottiene dalla seconda equazione del sistema, $y = 2 - 3 x$ , che sostituita nella prima dà $x + 6 - 9 x + 2 = 0$ , cioè $x = 1$ e quindi $y = - 1$ . Il termine noto della forma canonica è $\frac{I _{3}}{I _{2}} = \frac{32}{- 8} = - 4$ ; dividendo $4 X^{2} - 2 Y^{2} = 4$ per $4$ si ottiene $X^{2} - \frac{Y ^{2}}{2} = 1$ , un’iperbole con semiassi $a = 1$ e $b = 2$ . Poiché $a \neq = b$ , in accordo con $I_{1} = 2 \neq = 0$ , l’iperbole non è equilatera.