Esercizi svolti · Scheda 1

Classificazioni di coniche con gli invarianti

Teoria usata: Matrice associata a una conica Invarianti ortogonali Conica degenere Classificazione delle coniche non degeneri Circonferenze e iperboli equilatere

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Esercizio 1

Classificare la conica

3 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} - 8 = 0.

A = 310130 00 - 8, A_{0} = (3113)

I_{3} = det A = - 8 \cdot (9 - 1) = - 64, I_{2} = det A_{0} = 8, I_{1} = tr A_{0} = 6

I_{3} \neq = 0, I_{2} > 0, I_{1} \cdot I_{3} = - 384 < 0

La conica è un’ellisse reale.

Il coefficiente di $x y$ è $2$ , quindi nella matrice compare $a_{12} = 1$ ; non ci sono termini di primo grado, perciò $a_{13} = a_{23} = 0$ e $a_{33} = - 8$ . Poiché la terza riga e la terza colonna hanno un solo elemento non nullo, il determinante si calcola sviluppando lungo la terza riga ed è $- 8$ per il determinante del blocco $A_{0}$ . Dato che $I_{3} \neq = 0$ , la conica è non degenere; dato che $I_{2} > 0$ , è un’ellisse, e poiché $I_{1}$ e $I_{3}$ hanno segno opposto, per il criterio di classificazione l’ellisse è reale. Non è una circonferenza, perché $a_{12} = 1 \neq = 0$ .

Esercizio 2

Classificare la conica

x^{2} + 4 x y + y^{2} + 2 x - 2 y - 1 = 0.

A = 121 21 - 1 1 - 1 - 1

I_{3} = 1 \cdot (1 \cdot (- 1) - (- 1) (- 1)) - 2 \cdot (2 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1) = - 2 + 2 - 3 = - 3

I_{2} = 1221 = - 3, I_{1} = 2

La conica è un’iperbole, non equilatera.

I coefficienti di $x y$ , $x$ e $y$ sono $4$ , $2$ e $- 2$ , quindi nella matrice compaiono le loro metà $a_{12} = 2$ , $a_{13} = 1$ , $a_{23} = - 1$ . Il determinante di $A$ si calcola con lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga e vale $- 3$ , quindi la conica è non degenere. Poiché $I_{2} = - 3 < 0$ , la conica è un’iperbole. Un’iperbole è equilatera se e solo se $I_{1} = 0$ ; qui $I_{1} = 2$ , perciò l’iperbole non è equilatera.

Esercizio 3

Classificare la conica

x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} + 2 x + 4 y = 0.

A = 1 - 2 1 - 2 42 120

I_{3} = 1 \cdot (0 - 4) + 2 \cdot (0 - 2) + 1 \cdot (- 4 - 4) = - 4 - 4 - 8 = - 16

I_{2} = 1 - 2 - 2 4 = 4 - 4 = 0

La conica è una parabola.

La matrice ha $a_{12} = - 2$ , $a_{13} = 1$ e $a_{23} = 2$ . Lo sviluppo lungo la prima riga dà tre addendi: $1$ per il minore $4 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = - 4$ , poi $- (- 2) = 2$ per il minore $(- 2) \cdot 0 - 2 \cdot 1 = - 2$ , infine $1$ per il minore $(- 2) \cdot 2 - 4 \cdot 1 = - 8$ . Quindi $I_{3} = - 16 \neq = 0$ e la conica è non degenere. Poiché $I_{2} = 0$ , la conica è una parabola. Il blocco $A_{0}$ ha determinante nullo perché la parte di secondo grado è il quadrato $(x - 2 y)^{2}$ ; questo è un controllo rapido del risultato.

Esercizio 4

Classificare la conica

x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} + 2 x + 6 y + 7 = 0.

A = 111133137

I_{3} = 1 \cdot (21 - 9) - 1 \cdot (7 - 3) + 1 \cdot (3 - 3) = 12 - 4 + 0 = 8

I_{2} = 3 - 1 = 2 > 0, I_{1} = 4, I_{1} \cdot I_{3} = 32 > 0

{x + y + 1 = 0 x + 3 y + 3 = 0 ⟹ (0, - 1), f (0, - 1) = 3 - 6 + 7 = 4 = \frac{I _{3}}{I _{2}}

La conica è un’ellisse immaginaria: non ha punti reali.

Il determinante di $A$ vale $8$ , quindi la conica è non degenere, e poiché $I_{2} = 2 > 0$ è un’ellisse. Il prodotto $I_{1} I_{3}$ è positivo, perciò per il criterio di classificazione l’ellisse è immaginaria. Il risultato si controlla con la forma canonica: il centro risolve il sistema del centro e vale $(0, - 1)$ , e il valore del polinomio nel centro è $4$ , uguale a $\frac{I _{3}}{I _{2}}$ . La forma canonica è quindi $λ_{1} X^{2} + λ_{2} Y^{2} + 4 = 0$ con $λ_{1}, λ_{2} > 0$ , poiché il loro prodotto $I_{2}$ e la loro somma $I_{1}$ sono positivi. Il primo membro è almeno $4$ per ogni $(X, Y)$ , quindi l’equazione non ha soluzioni reali.