Problemi con le progressioni aritmetiche

In una progressione aritmetica per passare da $a_3$ ad $a_8$ si aggiunge la ragione cinque volte, quindi la differenza $a_8-a_3$ vale $5d$, e $d=3$. Il primo termine si ottiene tornando indietro di due posti da $a_3$, cioè togliendo due volte la ragione. Il ventesimo termine si trova con la formula $a_n=a_1+(n-1)d$. Per la somma dei termini si moltiplica il numero dei termini per la media del primo e dell’ultimo, e si ottiene $670$.

I termini aumentano ogni volta di $4$, quindi formano una progressione aritmetica di primo termine $7$ e ragione $4$. Con la formula della somma dei termini la somma dei primi $n$ termini diventa il polinomio $n(2n+5)$. La condizione $S_n>1000$ è una disequazione di secondo grado in $n$; la parabola $2n^2+5n-1000$ ha la concavità verso l’alto, quindi è positiva oltre la radice positiva, circa $21,15$, e la radice negativa non interessa perché $n$ è un naturale. Il primo naturale oltre $21,15$ è $22$, perciò occorrono 22 termini, come confermano $S_{21}=987$ e $S_{22}=1078$.

Tre numeri in progressione aritmetica si scrivono come il termine centrale $x$ preceduto e seguito dalla ragione $d$, cioè $x-d$, $x$, $x+d$. Con questa scelta nella somma la ragione si cancella, e dalla prima condizione si ricava subito $x=7$. Nel prodotto compare la differenza di quadrati $(7-d)(7+d)=49-d^2$, quindi dividendo per $7$ si ottiene $d^2=16$. Poiché la progressione è crescente la ragione è positiva, perciò $d=4$ e i tre numeri cercati sono $3$, $7$ e $11$. Come controllo, $3+7+11=21$ e $3\cdot 7\cdot 11=231$.