Esercizi svolti · Scheda 1

Termini, monotonia e limitatezza di successioni

Teoria usata: Successione Successioni monotone e limitate Limite di una successione

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Esercizio 1

Data la successione $a_n = \dfrac{n}{n^2 + 1}$ , con $n \geq 1$ , calcolarne i primi tre termini, stabilire se è monotona e se è limitata.

a_1 = \frac{1}{2}, \qquad a_2 = \frac{2}{5}, \qquad a_3 = \frac{3}{10}

\begin{aligned} a_{n+1} - a_n &= \frac{n + 1}{(n + 1)^2 + 1} - \frac{n}{n^2 + 1} \\[6pt] &= \frac{(n + 1)(n^2 + 1) - n\,(n^2 + 2n + 2)}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)} \\[6pt] &= \frac{-n^2 - n + 1}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)} \end{aligned}

n \geq 1 \implies -n^2 - n + 1 \leq -1 < 0 \implies a_{n+1} < a_n

0 < a_n \leq a_1 = \frac{1}{2}

I primi termini si ottengono sostituendo $n = 1, 2, 3$ nel termine generale, e sono via via più piccoli. Per dimostrare che la successione diminuisce si studia il segno della differenza $a_{n+1} - a_n$ . Riducendo allo stesso denominatore, il numeratore vale $n^3 + n^2 + n + 1 - n^3 - 2n^2 - 2n = -n^2 - n + 1$ . Per $n \geq 1$ il numeratore è al più $-1$ , mentre il denominatore è positivo, quindi la differenza è negativa e la successione è decrescente. Tutti i termini sono positivi, e poiché la successione decresce il più grande è il primo; perciò $0 < a_n \leq \dfrac{1}{2}$ e la successione è limitata.

Esercizio 2

Calcolare i primi quattro termini della successione definita per ricorrenza da $a_0 = 3$ e $a_{n+1} = 2\,a_n - 1$ . Verificare poi che il termine generale $b_n = 2^{\,n+1} + 1$ soddisfa la stessa regola e ha lo stesso primo termine.

a_1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5, \qquad a_2 = 2 \cdot 5 - 1 = 9, \qquad a_3 = 2 \cdot 9 - 1 = 17

b_0 = 2^{1} + 1 = 3

\begin{aligned} 2\,b_n - 1 &= 2\left( 2^{\,n+1} + 1 \right) - 1 \\[6pt] &= 2^{\,n+2} + 1 = b_{n+1} \end{aligned}

La successione è assegnata per ricorrenza, quindi ogni termine si ricava dal precedente raddoppiandolo e togliendo $1$ . Partendo da $a_0 = 3$ si applica la regola tre volte e si ottengono $5$ , $9$ , $17$ . Il termine generale proposto vale $3$ per $n = 0$ , e sostituito nella regola dà proprio il termine successivo $b_{n+1}$ . Le due successioni hanno perciò lo stesso primo termine e la stessa regola, quindi coincidono e $a_n = 2^{\,n+1} + 1$ per ogni $n$ . Come controllo, $b_3 = 2^4 + 1 = 17 = a_3$ . La successione non è né aritmetica né geometrica, perché a ogni passo si moltiplica e si somma.

Esercizio 3

Studiare la monotonia, la limitatezza e il limite della successione $a_n = (-1)^n\,\dfrac{3}{n}$ , con $n \geq 1$ .

a_1 = -3, \qquad a_2 = \frac{3}{2}, \qquad a_3 = -1, \qquad a_4 = \frac{3}{4}

|a_n| = \frac{3}{n} \leq 3

|a_n - 0| = \frac{3}{n} < \varepsilon \iff n > \frac{3}{\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n \to +\infty} a_n = 0

I termini di

a_{n} = (- 1)^{n} \frac{3}{n}

hanno segni alterni e si avvicinano a

0

Il fattore $(-1)^n$ rende i termini alternativamente negativi e positivi, perciò la successione non è monotona; per esempio $a_1 < a_2$ ma $a_2 > a_3$ . Il valore assoluto dei termini è $\dfrac{3}{n}$ , che non supera $3$ , quindi la successione è limitata. Per il limite si usa la definizione con $L = 0$ . La distanza di $a_n$ da $0$ è $\dfrac{3}{n}$ , e questa è minore di una tolleranza $\varepsilon$ qualsiasi da $n > \dfrac{3}{\varepsilon}$ in poi. Perciò la successione converge a $0$ , anche se si avvicina a $0$ da parti alterne.