Esercizi svolti · Scheda 3

Problemi con le progressioni geometriche

Teoria usata: Progressione geometrica Somma dei termini di una progressione geometrica Limite della successione geometrica

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Esercizio 1

In una progressione geometrica a termini positivi si ha $a_2 = 6$ e $a_5 = 162$ . Determinare la ragione, il primo termine, l’ottavo termine e la somma dei primi otto termini.

\frac{a_5}{a_2} = q^3 \iff q^3 = \frac{162}{6} = 27 \iff q = 3

a_1 = \frac{a_2}{q} = 2, \qquad a_8 = a_1\,q^{7} = 2 \cdot 2187 = 4374

S_8 = a_1\,\frac{1 - q^{8}}{1 - q} = 2 \cdot \frac{1 - 6561}{1 - 3} = 6560

In una progressione geometrica per passare da $a_2$ ad $a_5$ si moltiplica tre volte per la ragione, quindi il rapporto $\dfrac{a_5}{a_2}$ vale $q^3$ . Da $q^3 = 27$ si ricava $q = 3$ , l’unica radice cubica reale. Il primo termine si ottiene dividendo $a_2$ per la ragione, e l’ottavo con la formula $a_n = a_1\,q^{n-1}$ . La somma dei termini si calcola con la formula della somma geometrica; come controllo, $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 + 1458 + 4374 = 6560$ .

Esercizio 2

Si versano $200$ euro alla fine di ogni mese, per $24$ mesi, su un conto che rende lo $0{,}5\%$ al mese con capitalizzazione composta. Calcolare il saldo subito dopo l’ultimo versamento.

S = 200 + 200 \cdot 1{,}005 + 200 \cdot 1{,}005^{2} + \dots + 200 \cdot 1{,}005^{23}

S = 200 \cdot \frac{1{,}005^{24} - 1}{1{,}005 - 1} \approx 200 \cdot 25{,}4320 \approx 5086{,}39 \text{ euro}

Ogni versamento resta sul conto per un numero diverso di mesi. L’ultimo resta sul conto zero mesi, il penultimo un mese e il primo $23$ mesi, perché è fatto alla fine del primo mese. Un versamento che resta $k$ mesi viene moltiplicato per $1{,}005^{k}$ , quindi il saldo è la somma di $24$ termini di una progressione geometrica di primo termine $200$ e ragione $1{,}005$ . Con la formula della somma dei termini, scritta come $a_1\,\dfrac{q^n - 1}{q - 1}$ per avere numeratore e denominatore positivi, il saldo è circa $5086{,}39$ euro. I versamenti sono in tutto $4800$ euro, quindi gli interessi valgono circa $286$ euro.

Esercizio 3

Un macchinario acquistato a $20\,000$ euro perde ogni anno il $15\%$ del suo valore. Determinare dopo quanti anni il suo valore scende sotto i $5000$ euro.

V_n = 20\,000 \cdot 0{,}85^{\,n}

20\,000 \cdot 0{,}85^{\,n} < 5000 \iff 0{,}85^{\,n} < 0{,}25 \iff n > \frac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}85} \approx 8{,}53

V_8 \approx 5449{,}81, \qquad V_9 \approx 4632{,}34

Perdere il $15\%$ significa conservare l’ $85\%$ , quindi ogni anno il valore si moltiplica per $0{,}85$ e i valori formano una progressione geometrica di ragione $0{,}85 < 1$ , che tende a $0$ per il limite della successione geometrica. Nella disequazione si prende il logaritmo dei due membri; poi si divide per $\ln 0{,}85$ , che è negativo, e il verso si inverte. Si ottiene $n > 8{,}53$ , e il primo naturale che soddisfa la condizione è $9$ . Perciò il valore scende sotto i $5000$ euro dopo 9 anni, come confermano $V_8$ e $V_9$ .