Esercizi svolti · Scheda 2

Concavità e punti di flesso

Teoria usata: Funzione convessa e funzione concava Segno della derivata seconda e concavità Punto di flesso Derivata seconda e flessi

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Esercizio 1

Determinare gli intervalli di convessità e di concavità e i punti di flesso di $f(x) = x^4 - 6x^2$ , e scrivere l’equazione della tangente nel flesso di ascissa positiva.

f'(x) = 4x^3 - 12x, \qquad f''(x) = 12x^2 - 12 = 12\,(x - 1)(x + 1)

	$x < -1$	$-1 < x < 1$	$x > 1$
$f''(x)$	$+$	$-$	$+$
$f$	convessa	concava	convessa

f(\pm 1) = 1 - 6 = -5, \qquad f'(1) = 4 - 12 = -8

y = -5 - 8\,(x - 1) = -8x + 3

La funzione è convessa su $(-\infty, -1]$ e su $[1, +\infty)$ , concava su $[-1, 1]$ ; i flessi sono $(-1, -5)$ e $(1, -5)$ , e la tangente nel secondo è $y = -8x + 3$ .

La funzione è un polinomio, quindi è derivabile due volte su $\mathbb{R}$ e la concavità si ricava dal segno della derivata seconda. La derivata seconda $12\,(x^2 - 1)$ è un trinomio con radici $\pm 1$ e coefficiente direttore positivo, perciò è positiva fuori dall’intervallo $[-1, 1]$ e negativa dentro. Per il criterio sul segno della derivata seconda la funzione è convessa dove $f'' > 0$ e concava dove $f'' < 0$ .

La derivata seconda cambia segno in $-1$ e in $1$ , quindi per la condizione sufficiente questi due punti sono flessi. La tangente di flesso si scrive con la formula della retta tangente, usando il valore $f(1) = -5$ e la pendenza $f'(1) = -8$ . Poiché $f'(1) \neq 0$ , il flesso è obliquo.

Esercizio 2

Determinare gli intervalli di convessità e di concavità e i punti di flesso di $f(x) = x\,e^{x}$ .

f'(x) = e^{x} + x\,e^{x} = (x + 1)\,e^{x}

f''(x) = e^{x} + (x + 1)\,e^{x} = (x + 2)\,e^{x}

f''(x) > 0 \iff x + 2 > 0 \iff x > -2

f(-2) = -2\,e^{-2} = -\frac{2}{e^2} \approx -0{,}27

La funzione è concava su $(-\infty, -2]$ e convessa su $[-2, +\infty)$ , con un flesso nel punto $\left( -2, -\dfrac{2}{e^2} \right)$ .

La funzione è definita e derivabile infinite volte su $\mathbb{R}$ , perché è il prodotto di un polinomio e di un esponenziale. La derivata prima si calcola con la regola del prodotto e si raccoglie $e^{x}$ ; la derivata seconda si ottiene derivando di nuovo il prodotto $(x + 1)\,e^{x}$ .

Il fattore $e^{x}$ è sempre positivo, quindi il segno di $f''$ è quello di $x + 2$ . La derivata seconda è negativa per $x < -2$ e positiva per $x > -2$ , perciò la funzione è concava a sinistra di $-2$ e convessa a destra. Il cambio di segno di $f''$ in $-2$ indica che $x = -2$ è un punto di flesso, e il suo valore si ottiene sostituendo nella funzione.

Esercizio 3

Determinare gli intervalli di convessità e di concavità e i punti di flesso di $f(x) = \ln\left( 1 + x^2 \right)$ , e scrivere l’equazione della tangente nel flesso di ascissa positiva.

f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2}

\begin{aligned} f''(x) &= \frac{2\,(1 + x^2) - 2x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} \\[6pt] &= \frac{2\,(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} \end{aligned}

f''(x) > 0 \iff 1 - x^2 > 0 \iff -1 < x < 1

f(\pm 1) = \ln 2, \qquad f'(1) = 1, \qquad y = \ln 2 + (x - 1)

La funzione è convessa su $[-1, 1]$ e concava su $(-\infty, -1]$ e su $[1, +\infty)$ ; i flessi sono $(\pm 1, \ln 2)$ , e la tangente nel flesso di ascissa $1$ è $y = x - 1 + \ln 2$ .

y = \ln(1 + x^2)

y = x - 1 + \ln 2

La funzione

ln (1 + x^{2})

è convessa tra i flessi

(\pm 1, ln 2)

e concava fuori; nel flesso

(1, ln 2)

il grafico attraversa la tangente

L’argomento del logaritmo $1 + x^2$ è sempre positivo, quindi il dominio è $\mathbb{R}$ . La derivata prima si ottiene con la regola della funzione composta, e la derivata seconda con la regola del quoziente; al numeratore i termini $2x^2$ e $-4x^2$ si sommano in $-2x^2$ , e si raccoglie $2$ .

Il denominatore $(1 + x^2)^2$ è positivo, perciò il segno di $f''$ è quello di $1 - x^2$ , positivo per $-1 < x < 1$ e negativo fuori. La funzione è quindi convessa nell’intervallo $[-1, 1]$ e concava fuori, e i punti $\pm 1$ , dove $f''$ cambia segno, sono flessi. La funzione è pari, quindi i due flessi sono simmetrici rispetto all’asse $y$ . La tangente nel flesso di ascissa $1$ ha pendenza $f'(1) = \dfrac{2}{2} = 1$ .