Esercizi svolti · Scheda 3

Studi completi di funzioni razionali

Teoria usata: Schema dello studio di funzione Funzioni pari e dispari Criterio della derivata prima Segno della derivata seconda e concavità Derivata seconda e flessi

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Esercizio 1

Studiare la funzione $f(x) = \dfrac{x^2 - 3}{x - 2}$ e tracciarne il grafico.

Dominio e simmetrie.

D = \mathbb{R} \setminus \{2\}, \qquad f(-x) = \frac{x^2 - 3}{-x - 2} \neq \pm f(x)

Intersezioni e segno.

f(x) = 0 \iff x = \pm\sqrt{3}, \qquad f(0) = \frac{3}{2}

	$x < -\sqrt{3}$	$-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$	$\sqrt{3} < x < 2$	$x > 2$
$x^2 - 3$	$+$	$-$	$+$	$+$
$x - 2$	$-$	$-$	$-$	$+$
$f(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$

Limiti e asintoti.

\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = -\infty

f(x) = x + 2 + \frac{1}{x - 2}, \qquad \lim_{x \to \pm\infty} \big( f(x) - (x + 2) \big) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x - 2} = 0

Derivata prima.

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x\,(x - 2) - (x^2 - 3)}{(x - 2)^2} \\[6pt] &= \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)^2} \end{aligned}

	$x < 1$	$1 < x < 2$	$2 < x < 3$	$x > 3$
$f'(x)$	$+$	$-$	$-$	$+$
$f$	crescente	decrescente	decrescente	crescente

f(1) = \frac{-2}{-1} = 2, \qquad f(3) = \frac{6}{1} = 6

Derivata seconda.

f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 2)^2}, \qquad f''(x) = \frac{2}{(x - 2)^3}

La funzione è concava su $(-\infty, 2)$ e convessa su $(2, +\infty)$ , e non ha flessi. Ha l’asintoto verticale $x = 2$ , l’asintoto obliquo $y = x + 2$ , il massimo relativo $(1, 2)$ e il minimo relativo $(3, 6)$ .

y = \dfrac{x^{2} - 3}{x - 2}

Grafico di

f (x) = \frac{x ^{2} - 3}{x - 2}

con gli asintoti

x = 2

y = x + 2

, il massimo relativo

(1, 2)

e il minimo relativo

(3, 6)

Il denominatore si annulla solo in $x = 2$ , che è quindi l’unico punto escluso dal dominio. Il dominio non è simmetrico rispetto a $0$ , perciò la funzione non è né pari né dispari. Il numeratore si annulla in $\pm\sqrt{3}$ , e il segno del quoziente si legge dalla tabella dei segni dei due fattori.

Vicino a $2$ il numeratore tende a $1$ , mentre il denominatore tende a $0$ con il segno di $x - 2$ , quindi la retta $x = 2$ è un asintoto verticale. Il numeratore ha grado uguale al grado del denominatore più uno, perciò si esegue la divisione con resto, che dà $x^2 - 3 = (x - 2)(x + 2) + 1$ e quindi la scrittura $f(x) = x + 2 + \dfrac{1}{x - 2}$ . La differenza tra $f$ e la retta $y = x + 2$ tende a $0$ , quindi questa retta è un asintoto obliquo a destra e a sinistra.

La derivata si calcola con la regola del quoziente. Il denominatore $(x - 2)^2$ è positivo nel dominio, quindi il segno di $f'$ è quello di $(x - 1)(x - 3)$ . Per il criterio della derivata prima il punto $x = 1$ è di massimo relativo e il punto $x = 3$ di minimo relativo. Il massimo relativo vale meno del minimo relativo, e non c’è contraddizione, perché i due punti stanno su rami diversi, separati dall’asintoto.

Per la derivata seconda conviene derivare la scrittura $f(x) = x + 2 + (x - 2)^{-1}$ , che dà $f'(x) = 1 - (x - 2)^{-2}$ e $f''(x) = 2\,(x - 2)^{-3}$ . Il segno di $f''$ è quello di $x - 2$ , quindi la funzione è concava sul ramo di sinistra e convessa su quello di destra. La concavità cambia in $x = 2$ , che però non appartiene al dominio, perciò non ci sono flessi.

Esercizio 2

Studiare la funzione $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}$ e tracciarne il grafico.

Dominio e simmetrie.

D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}, \qquad f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 - 4} = f(x)

Intersezioni e segno.

f(x) = 0 \iff x = 0, \qquad f(x) > 0 \iff x^2 - 4 > 0 \iff |x| > 2

Limiti e asintoti.

\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1

Derivata prima.

f'(x) = \frac{2x\,(x^2 - 4) - x^2 \cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-8x}{(x^2 - 4)^2}

f'(x) > 0 \iff x < 0, \qquad f(0) = 0

Derivata seconda.

\begin{aligned} f''(x) &= \frac{-8\,(x^2 - 4)^2 + 8x \cdot 2\,(x^2 - 4) \cdot 2x}{(x^2 - 4)^4} \\[6pt] &= \frac{-8\,(x^2 - 4) + 32x^2}{(x^2 - 4)^3} = \frac{8\,(3x^2 + 4)}{(x^2 - 4)^3} \end{aligned}

f''(x) > 0 \iff x^2 - 4 > 0 \iff |x| > 2

La funzione è pari, ha gli asintoti verticali $x = \pm 2$ e l’asintoto orizzontale $y = 1$ ; cresce su $(-\infty, -2)$ e su $(-2, 0]$ , decresce su $[0, 2)$ e su $(2, +\infty)$ , ha il massimo relativo $(0, 0)$ , è convessa per $|x| > 2$ , concava su $(-2, 2)$ e non ha flessi.

y = \dfrac{x^{2}}{x^{2} - 4}

Grafico di

f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4}

, pari, con gli asintoti

x = \pm 2

y = 1

e il massimo relativo nell'origine

Il denominatore $x^2 - 4$ si annulla in $\pm 2$ , che sono esclusi dal dominio. La funzione contiene solo $x^2$ , quindi è pari e il grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$ ; basta studiarla per $x \geq 0$ , ma i calcoli valgono comunque per ogni $x$ . Il numeratore $x^2$ è positivo per $x \neq 0$ , perciò il segno di $f$ è quello del denominatore, positivo per $|x| > 2$ .

In $x = 2$ il numeratore tende a $4$ e il denominatore a $0$ , positivo da destra e negativo da sinistra, quindi $x = 2$ è un asintoto verticale; per simmetria lo è anche $x = -2$ , con $f \to +\infty$ per $x \to -2^{-}$ e $f \to -\infty$ per $x \to -2^{+}$ . Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado e lo stesso coefficiente direttore, quindi $f(x) \to 1$ all’infinito e la retta $y = 1$ è un asintoto orizzontale.

Il denominatore della derivata è un quadrato, positivo nel dominio, quindi $f'$ ha il segno di $-8x$ . La funzione cresce per $x < 0$ e decresce per $x > 0$ , intervallo per intervallo del dominio, e per il criterio della derivata prima $x = 0$ è un punto di massimo relativo, con valore $0$ . Il massimo non è assoluto, perché $f$ tende a $+\infty$ vicino agli asintoti verticali.

Nella derivata seconda si semplifica il fattore $x^2 - 4$ tra numeratore e denominatore. Il fattore $3x^2 + 4$ è sempre positivo, quindi il segno di $f''$ è quello di $(x^2 - 4)^3$ , cioè di $x^2 - 4$ . La concavità cambia in $\pm 2$ , che non appartengono al dominio, perciò la funzione non ha flessi.