Esercizi svolti · Scheda 1

Massimi e minimi relativi con la derivata prima

Teoria usata: Criterio della derivata prima Dove si cercano gli estremi Massimo e minimo relativi

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Determinare i punti di massimo e di minimo relativi di $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ .

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3\,(x^2 - 4x + 3) = 3\,(x - 1)(x - 3)

	$x < 1$	$1 < x < 3$	$x > 3$
$x - 1$	$-$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$+$
$f'(x)$	$+$	$-$	$+$
$f$	crescente	decrescente	crescente

f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5, \qquad f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1

Il punto $x = 1$ è di massimo relativo, con $f(1) = 5$ ; il punto $x = 3$ è di minimo relativo, con $f(3) = 1$ .

La funzione è un polinomio, quindi è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ , e per il teorema di Fermat gli estremi relativi vanno cercati tra i punti stazionari. La derivata è un polinomio di secondo grado; raccogliendo $3$ e scomponendo il trinomio $x^2 - 4x + 3$ , che ha radici $1$ e $3$ , si ottiene il prodotto $3\,(x - 1)(x - 3)$ .

Il segno di un prodotto si ricava dal segno dei fattori, come nella tabella. La derivata è positiva prima di $1$ e negativa tra $1$ e $3$ , quindi per il criterio della derivata prima il punto $x = 1$ è di massimo relativo. La derivata passa da negativa a positiva in $3$ , perciò $x = 3$ è di minimo relativo. I valori della funzione si calcolano sostituendo nel polinomio di partenza. Nessuno dei due estremi è assoluto, perché un polinomio di terzo grado tende a $+\infty$ per $x \to +\infty$ e a $-\infty$ per $x \to -\infty$ .

Esercizio 2

Determinare i punti di massimo e di minimo relativi di $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ .

f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x\,(x^2 - 4) = 4x\,(x - 2)(x + 2)

	$x < -2$	$-2 < x < 0$	$0 < x < 2$	$x > 2$
$4x$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x^2 - 4$	$+$	$-$	$-$	$+$
$f'(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$

f(-2) = 16 - 32 + 3 = -13, \qquad f(0) = 3, \qquad f(2) = -13

I punti $x = \pm 2$ sono di minimo relativo, con valore $-13$ ; il punto $x = 0$ è di massimo relativo, con valore $3$ .

La funzione è un polinomio, quindi è derivabile ovunque e gli unici candidati sono i punti stazionari. Raccogliendo $4x$ nella derivata resta la differenza di quadrati $x^2 - 4$ , perciò la derivata si annulla in $-2$ , $0$ e $2$ .

Il fattore $4x$ è positivo per $x > 0$ , mentre $x^2 - 4$ è positivo fuori dall’intervallo $[-2, 2]$ . Nella tabella la derivata cambia segno da $-$ a $+$ in $-2$ e in $2$ , che per il criterio della derivata prima sono punti di minimo relativo, e da $+$ a $-$ in $0$ , che è di massimo relativo. La funzione contiene solo potenze pari di $x$ , quindi è pari, e infatti i due minimi sono simmetrici e hanno lo stesso valore $-13$ . Poiché $f(x) \to +\infty$ per $x \to \pm\infty$ , il valore $-13$ è anche il minimo assoluto.

Esercizio 3

Determinare i punti di massimo e di minimo relativi di $f(x) = \sqrt[3]{x^2}\,(x - 5)$ .

f(x) = x^{\frac{5}{3}} - 5\,x^{\frac{2}{3}}, \qquad x \in \mathbb{R}

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{5}{3}\,x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{3}\,x^{-\frac{1}{3}} \\[6pt] &= \frac{5x - 10}{3\,\sqrt[3]{x}}, \qquad x \neq 0 \end{aligned}

	$x < 0$	$0 < x < 2$	$x > 2$
$5x - 10$	$-$	$-$	$+$
$3\sqrt[3]{x}$	$-$	$+$	$+$
$f'(x)$	$+$	$-$	$+$

f(0) = 0, \qquad f(2) = \sqrt[3]{4}\,(2 - 5) = -3\sqrt[3]{4} \approx -4{,}76

Il punto $x = 0$ è di massimo relativo, con $f(0) = 0$ ; il punto $x = 2$ è di minimo relativo, con $f(2) = -3\sqrt[3]{4}$ .

La radice cubica è definita per ogni numero reale, quindi il dominio è $\mathbb{R}$ e la funzione è continua. Per derivare si scrive la funzione come somma di potenze, moltiplicando $x^{\frac{2}{3}}$ per $x$ e per $-5$ . Portando la derivata a denominatore comune $3\,x^{\frac{1}{3}}$ si ottiene un quoziente che non è definito in $x = 0$ ; perciò in $0$ la funzione non è derivabile, e $0$ va aggiunto ai candidati insieme al punto stazionario $x = 2$ .

Il denominatore $3\sqrt[3]{x}$ ha il segno di $x$ , e il numeratore è positivo per $x > 2$ . La derivata è positiva a sinistra di $0$ e negativa a destra, quindi, poiché $f$ è continua in $0$ , il criterio della derivata prima si applica e $x = 0$ è un punto di massimo relativo, anche se in $0$ la funzione non è derivabile. In $x = 2$ la derivata passa da negativa a positiva, perciò $x = 2$ è di minimo relativo. Nel punto $0$ il grafico ha una cuspide, perché $f'(x) \to +\infty$ da sinistra e $f'(x) \to -\infty$ da destra.