Esercizi svolti · Scheda 2

Calcolo di determinanti

Teoria usata: Determinante di una matrice 2 × 2 Regola di Sarrus Minore complementare e complemento algebrico Sviluppo di Laplace Proprietà del determinante Determinante di una matrice triangolare

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Esercizio 1

Calcolare i determinanti

35 - 2 4, 13 - 2 201 - 1 24 .

35 - 2 4 = 3 \cdot 4 - (- 2) \cdot 5 = 12 + 10 = 22

13 - 2 201 - 1 24 = (1 \cdot 0 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \cdot (- 2) + (- 1) \cdot 3 \cdot 1) - ((- 1) \cdot 0 \cdot (- 2) + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 4) = (0 - 8 - 3) - (0 + 2 + 24) = - 11 - 26 = - 37

Le diagonali a tratto pieno danno i prodotti

0

- 8

- 3

, quelle tratteggiate

0

2

24

Per la matrice di ordine $2$ il determinante è il prodotto della diagonale principale meno il prodotto dell’altra diagonale; poiché $- 2$ è negativo, il secondo prodotto vale $- 10$ e il determinante è $12 + 10 = 22$ .

Per la matrice di ordine $3$ si applica la regola di Sarrus. Si ricopiano a destra le prime due colonne, come nello schema. I prodotti sulle tre diagonali che scendono verso destra sono $1 \cdot 0 \cdot 4 = 0$ , $2 \cdot 2 \cdot (- 2) = - 8$ e $(- 1) \cdot 3 \cdot 1 = - 3$ , con somma $- 11$ . I prodotti sulle tre diagonali che salgono verso destra sono $(- 2) \cdot 0 \cdot (- 1) = 0$ , $1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$ e $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ , con somma $26$ . Il determinante è la prima somma meno la seconda, quindi vale $- 37$ .

Esercizio 2

Calcolare con lo sviluppo di Laplace

231 0 - 1 0 104 .

231 0 - 1 0 104 = a_{22} A_{22} = (- 1) \cdot (- 1)^{2 + 2} 2114 = - (8 - 1) = - 7

Lo sviluppo di Laplace si può eseguire lungo una riga o una colonna qualsiasi, e conviene scegliere quella con più zeri. La seconda colonna contiene due zeri, quindi nello sviluppo lungo questa colonna resta un solo termine, quello dell’elemento $a_{22} = - 1$ . Il suo complemento algebrico ha segno $(- 1)^{2 + 2} = + 1$ , e il minore complementare si ottiene cancellando la seconda riga e la seconda colonna, cioè $2114 = 7$ . Perciò il determinante vale $(- 1) \cdot 7 = - 7$ . Come controllo, la regola di Sarrus dà $(- 8 + 0 + 0) - (- 1 + 0 + 0) = - 7$ .

Esercizio 3

Calcolare

det A = 1201251201311324 .

1201251201311324 = 1000211001311123 R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1} R_{4} \to R_{4} - R_{1}

det A = 1 \cdot 110131123 = 1 \cdot (9 - 2) - 1 \cdot (3 - 0) + 1 \cdot (1 - 0) = 7 - 3 + 1 = 5

Per un determinante di ordine $4$ conviene prima creare zeri con le proprietà del determinante. Sommare a una riga un multiplo di un’altra riga non cambia il determinante; si sottrae quindi dalla seconda riga il doppio della prima ( $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ ) e dalla quarta riga la prima ( $R_{4} \to R_{4} - R_{1}$ ). La terza riga ha già lo zero nella prima colonna.

Nella nuova matrice la prima colonna ha come unico elemento non nullo $a_{11} = 1$ , con segno $+$ . Lo sviluppo di Laplace lungo la prima colonna riduce quindi il calcolo al minore di ordine $3$ che si ottiene cancellando la prima riga e la prima colonna. Questo minore si sviluppa lungo la sua prima riga, con i segni $+$ , $-$ , $+$ , e vale $7 - 3 + 1 = 5$ . Perciò $det A = 5$ .

Esercizio 4

Risolvere l’equazione

x 10 1 x 1 01 x = 0.

x 10 1 x 1 01 x = x (x^{2} - 1) - 1 \cdot (x - 0) + 0 = x^{3} - 2 x = x (x^{2} - 2)

x (x^{2} - 2) = 0 ⟺ x = 0 oppure x = \pm 2

Il determinante è un polinomio in $x$ , e lo si calcola con lo sviluppo lungo la prima riga. Il primo termine è $x$ per il minore $x 1 1 x = x^{2} - 1$ ; il secondo ha segno $-$ ed è $1$ per il minore $10 1 x = x$ ; il terzo è nullo perché $a_{13} = 0$ . Si ottiene $x^{3} - x - x = x^{3} - 2 x$ . Raccogliendo $x$ , il polinomio si scompone in $x (x^{2} - 2)$ , e un prodotto è nullo quando lo è almeno un fattore. Quindi le soluzioni sono $x = 0$ , $x = 2$ e $x = - 2$ , e per questi tre valori la matrice non è invertibile.