Esercizi svolti · Scheda 1

Operazioni tra matrici

Teoria usata: Somma e prodotto per uno scalare Prodotto righe per colonne Matrice trasposta Proprietà del prodotto

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Esercizio 1

Date le matrici

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix},

calcolare $3A - 2B^{T}$ .

B^{T} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}

3A = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}, \qquad 2B^{T} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}

3A - 2B^{T} = \begin{pmatrix} 6 - 2 & -3 + 4 \\ 0 - 8 & 9 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -8 & 7 \end{pmatrix}

La trasposta di $B$ si ottiene scrivendo le righe di $B$ come colonne, quindi la prima riga $(1, 4)$ diventa la prima colonna e la seconda riga $(-2, 1)$ diventa la seconda colonna. Il prodotto per uno scalare moltiplica ogni elemento, perciò $3A$ ha gli elementi di $A$ moltiplicati per $3$ e $2B^{T}$ quelli di $B^{T}$ moltiplicati per $2$ . Le due matrici sono entrambe $2 \times 2$ , quindi la differenza è definita e si calcola elemento per elemento. Il risultato è $3A - 2B^{T} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -8 & 7 \end{pmatrix}$ .

Esercizio 2

Date le matrici

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix},

calcolare, se sono definiti, i prodotti $AB$ e $BA$ .

AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 4 \\ -1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & -1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

BA = \begin{pmatrix} 2 - 1 & 0 + 3 & 4 + 1 \\ 0 + 1 & 0 - 3 & 0 - 1 \\ 1 - 4 & 0 + 12 & 2 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 1 & -3 & -1 \\ -3 & 12 & 6 \end{pmatrix}

La matrice $A$ è $2 \times 3$ e la matrice $B$ è $3 \times 2$ . Il prodotto $AB$ è definito perché il numero di colonne di $A$ , cioè $3$ , è uguale al numero di righe di $B$ , e il risultato è una matrice $2 \times 2$ . Ogni elemento di $AB$ si ottiene con il prodotto righe per colonne; per esempio l’elemento di posto $(1, 2)$ è la prima riga di $A$ , $(1, 0, 2)$ , per la seconda colonna di $B$ , $(1, -1, 4)$ , cioè $1 + 0 + 8 = 9$ .

Anche $BA$ è definito, perché $B$ ha $2$ colonne e $A$ ha $2$ righe, ma è una matrice $3 \times 3$ . L’elemento di posto $(3, 2)$ , per esempio, è la terza riga di $B$ , $(1, 4)$ , per la seconda colonna di $A$ , $(0, 3)$ , cioè $0 + 12 = 12$ . I due prodotti hanno dimensioni diverse, quindi in questo caso $AB$ e $BA$ non sono nemmeno confrontabili.

Esercizio 3

Determinare tutte le matrici $X$ di ordine $2$ che commutano con

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},

cioè tali che $AX = XA$ .

X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

AX = \begin{pmatrix} a + 2c & b + 2d \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad XA = \begin{pmatrix} a & 2a + b \\ c & 2c + d \end{pmatrix}

AX = XA \iff \begin{cases} a + 2c = a \\[4pt] b + 2d = 2a + b \\[4pt] c = c \\[4pt] d = 2c + d \end{cases} \iff \begin{cases} c = 0 \\[4pt] d = a \end{cases}

X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, \qquad a, b \in \mathbb{R}

Si scrive la matrice incognita con quattro elementi $a$ , $b$ , $c$ , $d$ e si calcolano i due prodotti con la regola righe per colonne. Due matrici sono uguali quando hanno uguali tutti gli elementi corrispondenti, quindi l’uguaglianza $AX = XA$ equivale a un sistema di quattro equazioni. La prima equazione dà $2c = 0$ , cioè $c = 0$ ; la seconda dà $2d = 2a$ , cioè $d = a$ ; la terza è sempre vera e la quarta dà di nuovo $c = 0$ . Gli elementi $a$ e $b$ restano liberi, perciò le matrici che commutano con $A$ sono tutte e sole quelle della forma $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$ . Per esempio $I_2$ e $A$ stessa sono di questa forma, mentre $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ non lo è, e infatti non commuta con $A$ .