Esercizi svolti · Scheda 3

Sistemi lineari con la regola di Cramer

Teoria usata: Regola di Cramer Sistema lineare in forma matriciale Sistemi di due equazioni in due incognite Regola di Sarrus Determinante di una matrice 2 × 2

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Esercizio 1

Risolvere con la regola di Cramer il sistema

\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\[4pt] x + 4y = 6 \end{cases}

\det A = \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 12 + 2 = 14 \neq 0

x = \frac{\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 6 & 4 \end{vmatrix}}{14} = \frac{16 + 12}{14} = 2, \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 6 \end{vmatrix}}{14} = \frac{18 - 4}{14} = 1

y = \dfrac{3 x - 4}{2}

y = \dfrac{6 - x}{4}

Le rette

3 x - 2 y = 4

x + 4 y = 6

si incontrano nel punto

(2, 1)

Il sistema ha due equazioni e due incognite, e il determinante della matrice dei coefficienti è $14 \neq 0$ ; quindi la regola di Cramer si applica e il sistema ha una e una sola soluzione. Per $x$ si sostituisce la prima colonna, quella dei coefficienti di $x$ , con la colonna dei termini noti $(4, 6)$ , e si divide il determinante ottenuto per $14$ . Per $y$ si sostituisce la seconda colonna. Si ottiene la soluzione $(2, 1)$ . Come controllo, $3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4$ e $2 + 4 \cdot 1 = 6$ . Nel piano la soluzione è il punto in cui le due rette si incontrano.

Esercizio 2

Risolvere con la regola di Cramer il sistema

\begin{cases} x + y + z = 6 \\[4pt] 2x - y + z = 3 \\[4pt] x + 2y - z = 2 \end{cases}

\begin{aligned} \det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} &= (1 + 1 + 4) - (-1 + 2 - 2) \\[6pt] &= 6 + 1 = 7 \end{aligned}

\det A_1 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (6 + 2 + 6) - (-2 + 12 - 3) = 7

\det A_2 = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-3 + 6 + 4) - (3 + 2 - 12) = 14

\det A_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (-2 + 3 + 24) - (-6 + 6 + 4) = 21

x = \frac{7}{7} = 1, \qquad y = \frac{14}{7} = 2, \qquad z = \frac{21}{7} = 3

Il determinante della matrice dei coefficienti si calcola con la regola di Sarrus. I prodotti sulle diagonali che scendono sono $1 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1$ , $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ e $1 \cdot 2 \cdot 2 = 4$ ; quelli sulle diagonali che salgono sono $1 \cdot (-1) \cdot 1 = -1$ , $2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$ e $(-1) \cdot 2 \cdot 1 = -2$ . Quindi $\det A = 6 - (-1) = 7 \neq 0$ , e per la regola di Cramer il sistema ha una sola soluzione.

La matrice $A_j$ si ottiene da $A$ sostituendo la colonna $j$ con la colonna dei termini noti $(6, 3, 2)$ . I tre determinanti, calcolati ancora con Sarrus, valgono $7$ , $14$ e $21$ , e dividendo ciascuno per $\det A = 7$ si ottiene la soluzione $(1, 2, 3)$ . Sostituendo nelle equazioni si verifica che $1 + 2 + 3 = 6$ , $2 - 2 + 3 = 3$ e $1 + 4 - 3 = 2$ .

Esercizio 3

Un’impresa produce tre articoli, che passano per tre reparti. Un’unità del primo articolo richiede $1$ ora di taglio, $2$ di montaggio e $1$ di finitura; un’unità del secondo richiede $2$ , $1$ e $1$ ore; un’unità del terzo richiede $1$ , $1$ e $2$ ore. Le ore disponibili ogni settimana sono $80$ per il taglio, $70$ per il montaggio e $90$ per la finitura. Determinare le quantità dei tre articoli che impiegano per intero le ore di tutti i reparti.

\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 80 \\[4pt] 2x_1 + x_2 + x_3 = 70 \\[4pt] x_1 + x_2 + 2x_3 = 90 \end{cases}

\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 + 2 + 2) - (1 + 1 + 8) = -4

\det A_1 = \begin{vmatrix} 80 & 2 & 1 \\ 70 & 1 & 1 \\ 90 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (160 + 180 + 70) - (90 + 80 + 280) = -40

\det A_2 = \begin{vmatrix} 1 & 80 & 1 \\ 2 & 70 & 1 \\ 1 & 90 & 2 \end{vmatrix} = (140 + 80 + 180) - (70 + 90 + 320) = -80

\det A_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 80 \\ 2 & 1 & 70 \\ 1 & 1 & 90 \end{vmatrix} = (90 + 140 + 160) - (80 + 70 + 360) = -120

x_1 = \frac{-40}{-4} = 10, \qquad x_2 = \frac{-80}{-4} = 20, \qquad x_3 = \frac{-120}{-4} = 30

Si indicano con $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ le quantità settimanali dei tre articoli. Le ore di taglio impiegate sono $x_1 + 2x_2 + x_3$ , e devono essere uguali alle $80$ disponibili; allo stesso modo si scrivono le equazioni del montaggio e della finitura. Si ottiene un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite, in cui ogni riga della matrice dei coefficienti corrisponde a un reparto e ogni colonna a un articolo.

Il determinante della matrice dei coefficienti è $-4 \neq 0$ , quindi per la regola di Cramer il piano di produzione che impiega tutte le ore esiste ed è unico. I determinanti $\det A_1$ , $\det A_2$ , $\det A_3$ valgono $-40$ , $-80$ e $-120$ , perciò l’impresa deve produrre $10$ , $20$ e $30$ unità dei tre articoli. Le quantità sono positive, quindi la soluzione ha senso economico. Come controllo, le ore di taglio sono $10 + 40 + 30 = 80$ .