Esercizi svolti · Scheda 2

Tassi equivalenti, tassi nominali e intensità istantanea

Teoria usata: Tassi equivalenti Tasso nominale convertibile k volte Capitalizzazione continua

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Dato il tasso annuo $i = 5\%$ , calcolare i tassi semestrale, trimestrale e mensile equivalenti.

i_2 = 1{,}05^{\frac{1}{2}} - 1 \approx 0{,}024695 = 2{,}4695\%

i_4 = 1{,}05^{\frac{1}{4}} - 1 \approx 0{,}012272 = 1{,}2272\%

i_{12} = 1{,}05^{\frac{1}{12}} - 1 \approx 0{,}004074 = 0{,}4074\%

Il tasso periodale $i_k$ è equivalente al tasso annuo se capitalizzare $k$ volte in un anno al tasso $i_k$ dà lo stesso montante di una capitalizzazione annua al $5\%$ , cioè se $(1 + i_k)^{k} = 1{,}05$ . Risolvendo rispetto a $i_k$ si prende la radice $k$ -esima, che si scrive come potenza di esponente $\dfrac{1}{k}$ , e si sottrae $1$ .

Ogni tasso equivalente è un po’ minore del tasso annuo diviso per $k$ ; per esempio $i_2 \approx 2{,}47\%$ è minore di $2{,}5\%$ . Infatti nel secondo semestre gli interessi si calcolano anche sugli interessi del primo, quindi per ottenere lo stesso montante basta un tasso semestrale più basso. Come controllo, $1{,}024695^{2} \approx 1{,}05$ .

Esercizio 2

Un prestito A ha tasso nominale annuo (TAN) del $9\%$ con rate mensili; un prestito B ha TAN del $9{,}2\%$ con rate semestrali. Calcolare i tassi annui effettivi (TAE) e stabilire quale prestito costa meno.

\text{A:} \quad i_{12} = \frac{0{,}09}{12} = 0{,}0075, \qquad i = 1{,}0075^{12} - 1 \approx 9{,}38\%

\text{B:} \quad i_{2} = \frac{0{,}092}{2} = 0{,}046, \qquad i = 1{,}046^{2} - 1 = 0{,}094116 \approx 9{,}41\%

Il tasso nominale convertibile $k$ volte è il tasso periodale moltiplicato per $k$ , quindi il tasso periodale si ottiene dividendo il TAN per $k$ ; si ottiene lo $0{,}75\%$ mensile per A e il $4{,}6\%$ semestrale per B. Il tasso effettivo è il tasso annuo equivalente al tasso periodale, cioè $(1 + i_k)^{k} - 1$ .

I due tassi nominali non sono confrontabili tra loro, perché si riferiscono a periodi diversi; i tassi effettivi invece sono entrambi annui. Il prestito A ha il TAE minore, circa $9{,}38\%$ contro $9{,}41\%$ , perciò A costa meno. Il TAE di A supera il suo TAN di $0{,}38$ punti, quello di B di circa $0{,}21$ punti, perché le capitalizzazioni in un anno sono $12$ per A e $2$ per B.

Esercizio 3

Un deposito è remunerato in capitalizzazione continua con intensità istantanea $\delta = 4\%$ . Calcolare il tasso annuo composto equivalente, il montante di $5000$ euro dopo $3$ anni e $6$ mesi e il tempo necessario perché un capitale raddoppi.

i = e^{0{,}04} - 1 \approx 0{,}040811 = 4{,}0811\%

M = 5000\,e^{0{,}04 \cdot 3{,}5} = 5000\,e^{0{,}14} \approx 5751{,}37 \text{ euro}

e^{0{,}04\,t} = 2 \iff 0{,}04\,t = \ln 2 \iff t = \frac{\ln 2}{0{,}04} \approx 17{,}33 \text{ anni}

In capitalizzazione continua un capitale dopo un anno è moltiplicato per $e^{\delta}$ , quindi il tasso annuo composto equivalente è quello per cui $1 + i = e^{\delta}$ . Si ottiene $i \approx 4{,}08\%$ , un po’ più dell’intensità, come accade per il tasso effettivo rispetto al tasso nominale.

Il tempo $3$ anni e $6$ mesi corrisponde a $t = 3{,}5$ , e il montante è $C\,e^{\delta t}$ . Lo stesso risultato si ottiene in capitalizzazione composta al tasso equivalente, perché $(1 + i)^{3{,}5} = e^{0{,}04 \cdot 3{,}5}$ .

Il capitale raddoppia quando il fattore di montante vale $2$ . L’incognita è all’esponente, perciò si prende il logaritmo naturale dei due membri, e il tempo di raddoppio è circa $17{,}33$ anni, cioè $17$ anni e circa $4$ mesi; non dipende dal capitale iniziale.