Esercizi svolti · Scheda 3

Rendite immediate posticipate e anticipate

Teoria usata: Rendita Rendita immediata posticipata Rendita immediata anticipata Tassi equivalenti

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Esercizio 1

Calcolare il valore attuale e il montante di una rendita immediata posticipata di $8$ rate annue di $1500$ euro al tasso annuo del $3\%$ .

a_{\overline{8}|0{,}03} = \frac{1 - 1{,}03^{-8}}{0{,}03} \approx 7{,}019692, \qquad V = 1500\,a_{\overline{8}|0{,}03} \approx 10\,529{,}54 \text{ euro}

s_{\overline{8}|0{,}03} = \frac{1{,}03^{8} - 1}{0{,}03} \approx 8{,}892336, \qquad M = 1500\,s_{\overline{8}|0{,}03} \approx 13\,338{,}50 \text{ euro}

Le rate sono costanti e si pagano alla fine di ogni anno a partire dal primo, quindi la rendita è immediata posticipata, e il periodo delle rate coincide con quello del tasso. Il valore attuale è la rata moltiplicata per $a_{\overline{8}|0{,}03}$ , il montante è la rata moltiplicata per $s_{\overline{8}|0{,}03}$ .

Come controllo, il montante deve essere il valore attuale portato alla fine dell’ottavo anno, e infatti $10\,529{,}54 \cdot 1{,}03^{8} \approx 13\,338{,}50$ . Il valore attuale è minore della somma delle rate, $12\,000$ euro, perché ogni rata attualizzata vale meno del suo importo; il montante è maggiore, perché ogni rata produce interessi fino alla fine.

Esercizio 2

Un affitto di $600$ euro al mese si paga all’inizio di ogni mese per un anno. Al tasso annuo del $6\%$ , calcolare il valore attuale dei dodici pagamenti.

i_{12} = 1{,}06^{\frac{1}{12}} - 1 \approx 0{,}0048676

a_{\overline{12}|i_{12}} = \frac{1 - (1 + i_{12})^{-12}}{i_{12}} = \frac{1 - 1{,}06^{-1}}{i_{12}} \approx 11{,}628800

V = 600\,(1 + i_{12})\,a_{\overline{12}|i_{12}} \approx 600 \cdot 1{,}0048676 \cdot 11{,}628800 \approx 7011{,}24 \text{ euro}

Le rate sono mensili e il tasso è annuo, quindi prima si calcola il tasso mensile equivalente, perché le formule delle rendite richiedono che il tasso si riferisca allo stesso periodo delle rate. Nel calcolo di $a_{\overline{12}|i_{12}}$ si usa il fatto che $(1 + i_{12})^{12} = 1{,}06$ , che evita di elevare alla dodicesima un numero approssimato.

L’affitto si paga all’inizio di ogni mese, quindi la rendita è anticipata, e il suo valore attuale è quello della rendita posticipata moltiplicato per $1 + i_{12}$ . Il valore attuale di circa $7011{,}24$ euro è la somma che, versata in un’unica soluzione all’inizio dell’anno, è equivalente ai dodici pagamenti.

Esercizio 3

Si vuole disporre di $20\,000$ euro alla fine del decimo anno versando una somma costante $R$ all’inizio di ognuno dei $10$ anni, su un conto al $2\%$ annuo composto. Calcolare $R$ .

s_{\overline{10}|0{,}02} = \frac{1{,}02^{10} - 1}{0{,}02} \approx 10{,}949721

R\,(1{,}02)\,s_{\overline{10}|0{,}02} = 20\,000 \iff R = \frac{20\,000}{1{,}02 \cdot 10{,}949721} \approx 1790{,}72 \text{ euro}

I dieci versamenti si fanno ai tempi

0, 1, \dots, 9

, e il montante

M = 20000

euro si richiede al tempo

10

, un anno dopo l'ultimo versamento

I versamenti si fanno all’inizio di ogni anno, quindi formano una rendita anticipata, e il saldo richiesto alla fine del decimo anno è il suo montante, $R\,(1 + i)\,s_{\overline{10}|i}$ . Come mostra lo schema, l’ultimo versamento si fa al tempo $9$ e produce interessi per un anno, mentre il primo produce interessi per $10$ anni.

L’equazione è di primo grado in $R$ , e dividendo si ottiene una rata di circa $1790{,}72$ euro. Come controllo, i dieci versamenti sommano circa $17\,907$ euro, e la differenza fino a $20\,000$ euro è data dagli interessi.

Esercizio 4

Un debito di $15\,000$ euro si rimborsa con rate annue posticipate di $2500$ euro al tasso del $5\%$ . Determinare quante rate piene servono e l’importo dell’ultima rata, ridotta, pagata un anno dopo l’ultima rata piena.

15\,000 = 2500\,\frac{1 - 1{,}05^{-n}}{0{,}05} \iff 1{,}05^{-n} = 1 - \frac{15\,000 \cdot 0{,}05}{2500} = 0{,}7

n = -\frac{\ln 0{,}7}{\ln 1{,}05} \approx 7{,}31

2500\,a_{\overline{7}|0{,}05} \approx 2500 \cdot 5{,}786373 \approx 14\,465{,}93 \text{ euro}

\begin{aligned} X &= (15\,000 - 14\,465{,}93) \cdot 1{,}05^{8} \\[6pt] &\approx 534{,}07 \cdot 1{,}477455 \\[6pt] &\approx 789{,}06 \text{ euro} \end{aligned}

Il debito è il valore attuale delle rate, quindi si impone $15\,000 = 2500\,a_{\overline{n}|0{,}05}$ e si ricava $1{,}05^{-n}$ . Il numero $\dfrac{15\,000 \cdot 0{,}05}{2500} = 0{,}3$ è minore di $1$ , perché la rata supera l’interesse del primo anno, $750$ euro; perciò il problema ha soluzione, e prendendo il logaritmo si ottiene $n \approx 7{,}31$ .

Il numero delle rate non è intero, quindi si pagano $7$ rate piene e un’ottava rata ridotta $X$ al tempo $8$ . Le sette rate piene coprono un valore attuale di circa $14\,465{,}93$ euro; la parte di debito che resta, circa $534{,}07$ euro in valore attuale, va pagata al tempo $8$ , perciò si moltiplica per $1{,}05^{8}$ . L’ultima rata è quindi di circa $789{,}06$ euro.