Esercizi svolti · Scheda 1

Montanti, valori attuali e sconti

Teoria usata: Capitale, interesse e montante Capitalizzazione semplice Capitalizzazione composta Valore attuale Sconto e tasso di sconto Confronto tra i due regimi

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Esercizio 1

Un capitale $C = 1500$ euro viene investito al tasso annuo del $3\%$ . Calcolare il montante dopo $8$ mesi in capitalizzazione semplice e il montante e l’interesse dopo $5$ anni in capitalizzazione composta.

t = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}, \qquad M = 1500 \left( 1 + 0{,}03 \cdot \frac{2}{3} \right) = 1500 \cdot 1{,}02 = 1530 \text{ euro}

M = 1500 \cdot 1{,}03^{5} \approx 1500 \cdot 1{,}159274 \approx 1738{,}91 \text{ euro}, \qquad I = M - C \approx 238{,}91 \text{ euro}

Il tempo va sempre espresso in anni, perché il tasso è annuo; $8$ mesi sono quindi $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ di anno. In capitalizzazione semplice il montante è $C\,(1 + i\,t)$ , e l’interesse di $8$ mesi è $1500 \cdot 0{,}02 = 30$ euro, perciò il montante è $1530$ euro.

In capitalizzazione composta il capitale viene moltiplicato per $1{,}03$ alla fine di ogni anno, quindi dopo $5$ anni è moltiplicato per $1{,}03^{5}$ . L’interesse è la differenza tra montante e capitale, circa $238{,}91$ euro. Come controllo, in capitalizzazione semplice l’interesse di $5$ anni sarebbe $1500 \cdot 0{,}03 \cdot 5 = 225$ euro; il valore composto è maggiore, come prevede il confronto tra i due regimi per durate superiori all’anno.

Esercizio 2

Una cambiale di $3600$ euro scade tra $5$ mesi. Calcolare il valore attuale e lo sconto con lo sconto commerciale al tasso $d = 6\%$ e con lo sconto razionale al tasso $i = 6\%$ .

t = \frac{5}{12}, \qquad V = 3600 \left( 1 - 0{,}06 \cdot \frac{5}{12} \right) = 3600 \cdot 0{,}975 = 3510 \text{ euro}, \qquad D = 90 \text{ euro}

V = \frac{3600}{1 + 0{,}06 \cdot \dfrac{5}{12}} = \frac{3600}{1{,}025} \approx 3512{,}20 \text{ euro}, \qquad D \approx 87{,}80 \text{ euro}

Nello sconto commerciale lo sconto è proporzionale all’importo a scadenza e al tempo, $D = M\,d\,t = 3600 \cdot 0{,}06 \cdot \dfrac{5}{12} = 90$ euro, quindi il valore attuale è $3600 - 90 = 3510$ euro. La formula si può usare perché $t = \dfrac{5}{12}$ è molto minore di $\dfrac{1}{d} \approx 16{,}7$ anni.

Nello sconto razionale il valore attuale è il capitale che in capitalizzazione semplice al $6\%$ ha montante $3600$ euro dopo $5$ mesi, perciò si divide per il fattore di montante $1{,}025$ . Lo sconto razionale è minore dello sconto commerciale, perché l’interesse si calcola sul valore attuale, che è minore di $3600$ euro, e non sull’importo a scadenza. Come controllo, $3512{,}20 \cdot 1{,}025 \approx 3600$ .

Esercizio 3

Si versano oggi $2000$ euro e tra $2$ anni altri $3000$ euro su un conto al $4\%$ annuo composto. Calcolare il saldo del conto dopo $5$ anni e il valore attuale dei due versamenti, e verificare che i due risultati sono coerenti.

\begin{aligned} M &= 2000 \cdot 1{,}04^{5} + 3000 \cdot 1{,}04^{3} \\[6pt] &\approx 2433{,}31 + 3374{,}59 \\[6pt] &\approx 5807{,}90 \text{ euro} \end{aligned}

V = 2000 + 3000 \cdot 1{,}04^{-2} \approx 2000 + 2773{,}67 = 4773{,}67 \text{ euro}

V \cdot 1{,}04^{5} \approx 4773{,}67 \cdot 1{,}216653 \approx 5807{,}90 \text{ euro}

Ogni versamento rimane sul conto per un tempo diverso, quindi i due montanti si calcolano separatamente e poi si sommano. Il primo versamento resta sul conto $5$ anni e viene moltiplicato per $1{,}04^{5}$ ; il secondo è fatto al tempo $2$ , resta sul conto $3$ anni e viene moltiplicato per $1{,}04^{3}$ . Il saldo dopo $5$ anni è quindi circa $5807{,}90$ euro.

Il valore attuale dei due versamenti si ottiene riportando ciascuno al tempo $0$ ; il primo è già al tempo $0$ , il secondo si moltiplica per $1{,}04^{-2}$ . Portando il valore attuale al tempo $5$ , cioè moltiplicandolo per $1{,}04^{5}$ , si ritrova il saldo, perché in capitalizzazione composta spostare un importo da $0$ a $2$ e poi da $2$ a $5$ equivale a spostarlo direttamente da $0$ a $5$ . I due risultati sono perciò coerenti.