Esercizi svolti · Scheda 3

Limiti notevoli e confronto tra infiniti

Teoria usata: Limiti notevoli Confronto tra infiniti Regole di calcolo dei limiti

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Esercizio 1

Calcolare

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{5x} .

\frac{\ln(1 + 3x)}{x} = 3 \cdot \frac{\ln(1 + 3x)}{3x}, \qquad t = 3x \to 0: \qquad 3 \cdot \frac{\ln(1 + t)}{t} \to 3

\frac{e^{2x} - 1}{5x} = \frac{2}{5} \cdot \frac{e^{2x} - 1}{2x}, \qquad t = 2x \to 0: \qquad \frac{2}{5} \cdot \frac{e^{t} - 1}{t} \to \frac{2}{5}

Entrambi i limiti sono nella forma $\dfrac{0}{0}$ e somigliano ai limiti notevoli del logaritmo e dell’esponenziale, ma l’argomento è $3x$ o $2x$ invece di $x$ . Si moltiplica e si divide per il numero che manca, così al denominatore compare lo stesso argomento, cioè $3x$ nel primo caso, $2x$ nel secondo. Con la sostituzione $t = 3x$ , oppure $t = 2x$ , la variabile $t$ tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ , e la frazione diventa esattamente un limite notevole, che vale $1$ . Restano i fattori numerici, quindi i limiti sono $3$ e $\dfrac{2}{5}$ .

Esercizio 2

Calcolare

\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{x} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{2x} \right)^{x} .

t = \frac{x}{2}: \qquad \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{x} = \left[ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{t} \right]^{2} \to e^{2}

t = 2x: \qquad \left( 1 + \frac{1}{2x} \right)^{x} = \left[ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{t} \right]^{\frac{1}{2}} \to e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}

La base tende a $1$ e l’esponente a $+\infty$ , quindi la forma è $1^{\infty}$ , che è indeterminata. Si cerca di ricondursi al limite notevole $\left( 1 + \dfrac{1}{t} \right)^{t} \to e$ . Nel primo caso si pone $t = \dfrac{x}{2}$ , così $\dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{t}$ e l’esponente $x$ diventa $2t$ ; poiché $t \to +\infty$ , la potenza $\left( 1 + \dfrac{1}{t} \right)^{t}$ tende a $e$ e il limite è $e^{2}$ . Nel secondo caso si pone $t = 2x$ e l’esponente $x$ diventa $\dfrac{t}{2}$ , quindi il limite è $\sqrt{e}$ . Lo stesso procedimento, con $\dfrac{r}{x}$ al posto di $\dfrac{2}{x}$ , dà il limite $e^{r}$ della capitalizzazione continua.

Esercizio 3

Calcolare

\lim_{x \to +\infty} \frac{x^5 + e^{x}}{2e^{x} - x^2} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} .

\frac{x^5 + e^{x}}{2e^{x} - x^2} = \frac{e^{x} \left( \dfrac{x^5}{e^{x}} + 1 \right)}{e^{x} \left( 2 - \dfrac{x^2}{e^{x}} \right)} = \frac{\dfrac{x^5}{e^{x}} + 1}{2 - \dfrac{x^2}{e^{x}}} \to \frac{0 + 1}{2 - 0} = \frac{1}{2}

\frac{\ln x}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x}{x^{\frac{1}{2}}} \to 0

Nel primo quoziente compaiono potenze ed esponenziali. Per il confronto tra infiniti l’esponenziale $e^{x}$ cresce più in fretta di qualunque potenza, quindi si raccoglie $e^{x}$ al numeratore e al denominatore. I rapporti $\dfrac{x^5}{e^{x}}$ e $\dfrac{x^2}{e^{x}}$ tendono a $0$ , e il limite è $\dfrac{1}{2}$ , perché per $x$ grande le potenze sono trascurabili rispetto agli esponenziali. Nel secondo quoziente il logaritmo è confrontato con la potenza $x^{\frac{1}{2}}$ , che cresce più in fretta di $\ln x$ anche se l’esponente $\dfrac{1}{2}$ è piccolo, perciò il limite è $0$ .