Limiti all'infinito di funzioni razionali e irrazionali

Il numeratore tende a $+\infty$ e il denominatore a $-\infty$, quindi la forma è $\frac{\infty }{\infty }$. Si raccoglie in entrambi la potenza più alta, $x^3$, e la si semplifica. I termini $\frac{1}{x^2}$ e $\frac{1}{x^3}$ tendono a $0$, perciò il quoziente tende al rapporto dei coefficienti di $x^3$, cioè $-\frac{3}{2}$. Il segno negativo è coerente con il fatto che, per $x$ grande, il numeratore è positivo e il denominatore negativo.

Si raccolgono le potenze più alte come per $x\to +\infty$, facendo attenzione ai segni. Nel primo quoziente resta il fattore $x$, che tende a $-\infty$, moltiplicato per un fattore che tende a $1$; il limite è quindi $-\infty$. Nel secondo, che è il reciproco del primo, resta il fattore $\frac{1}{x}$, che tende a $0$, e il limite è $0$. Il risultato è coerente con il segno, perché per $x$ molto negativo il numeratore $x^2+5$ è positivo e il denominatore $x+1$ è negativo, quindi il primo quoziente è negativo, come il suo limite.

La radice e $x$ tendono entrambe a $+\infty$, e la differenza è nella forma $+\infty -\infty$. Si razionalizza moltiplicando e dividendo per $\sqrt{x^2+4x}+x$, e così il numeratore diventa $4x$. Al denominatore si porta fuori dalla radice il fattore $x^2$, che esce come $x$ perché $x>0$. Dopo la semplificazione la radice tende a $1$ e il limite è $2$. Il risultato significa che, per $x$ grande, $\sqrt{x^2+4x}$ è circa $x+2$.