Limiti in un punto con la forma indeterminata zero su zero

Sostituendo $x=2$ numeratore e denominatore si annullano, quindi il limite è nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$. Un polinomio che si annulla in $2$ è divisibile per $x-2$, perciò si scompongono entrambi, scrivendo il numeratore come differenza di cubi e il denominatore come differenza di quadrati. Il fattore $x-2$ si semplifica, perché nel limite conta solo $x\ne 2$. La funzione che resta è continua in $2$, quindi il limite si calcola per sostituzione e vale $3$.

Per $x=1$ entrambi i trinomi valgono $0$, quindi la forma è $\frac{0}{0}$ e $x=1$ è una radice di entrambi. Ciascun trinomio si scompone nel prodotto di $x-1$ per un fattore di primo grado, che si trova con l’altra radice, cioè $-3$ per il numeratore e $-\frac{1}{2}$ per il denominatore, perciò $2x^2-x-1=2(x-1)\left(x+\frac{1}{2}\right)=(x-1)(2x+1)$. Dopo la semplificazione si sostituisce $x=1$ e si ottiene $\frac{4}{3}$.

Anche qui la sostituzione dà $\frac{0}{0}$, ma il numeratore contiene una radice e non si scompone come un polinomio. Si razionalizza moltiplicando numeratore e denominatore per $\sqrt{x}+2$, e così il numeratore diventa la differenza di quadrati $x-4$, che si semplifica con il denominatore. In alternativa si può osservare che $x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$ per $x\ge 0$. La funzione che resta è continua in $4$ e il limite vale $\frac{1}{4}$.