Esercizi svolti · Scheda 2

Integrali per sostituzione

Teoria usata: Integrazione per sostituzione Sostituzione negli integrali definiti Integrali immediati Formula fondamentale del calcolo integrale

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Esercizio 1

Calcolare

\int x x + 1 d x .

t = x + 1, x = t - 1, d x = d t

\int x x + 1 d x = \int (t - 1) t^{\frac{1}{2}} d t = \int (t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}}) d t = \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + c = \frac{2}{5} (x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (x + 1)^{\frac{3}{2}} + c

La radice contiene $x + 1$ , mentre fuori dalla radice c’è $x$ ; ponendo $t = x + 1$ entrambi i fattori diventano potenze di $t$ . Dalla sostituzione segue $x = t - 1$ e, derivando, $d x = d t$ . Moltiplicando $(t - 1)$ per $t^{\frac{1}{2}}$ si ottiene una differenza di potenze, che si integra con la formula delle potenze. Alla fine si torna alla variabile $x$ sostituendo $t = x + 1$ .

Esercizio 2

Calcolare, per $x > 0$ ,

\int \frac{1}{x + x} d x .

t = x, x = t^{2}, d x = 2 t d t

\int \frac{1}{x + x} d x = \int \frac{2 t}{t ^{2} + t} d t = \int \frac{2 t}{t ( t + 1 )} d t = \int \frac{2}{t + 1} d t = 2 ln (t + 1) + c

\int \frac{1}{x + x} d x = 2 ln (1 + x) + c

La sostituzione $t = x$ elimina la radice, perché $x = t^{2}$ e $x = t$ per $x > 0$ e $t > 0$ . Derivando $x = t^{2}$ rispetto a $t$ si ottiene $d x = 2 t d t$ . Il denominatore diventa $t^{2} + t = t (t + 1)$ , e il fattore $t$ si semplifica con quello di $2 t$ . Resta $\frac{2}{t + 1}$ , che ha primitiva $2 ln ∣ t + 1 ∣$ ; il valore assoluto si omette perché $t + 1 > 0$ . Infine si sostituisce $t = x$ .

Esercizio 3

Calcolare

\int \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} + 1} d x .

t = e^{x}, d t = e^{x} d x

\int \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} + 1} d x = \int \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1} e^{x} d x = \int \frac{t}{t + 1} d t

\int \frac{t}{t + 1} d t = \int (1 - \frac{1}{t + 1}) d t = t - ln (t + 1) + c

\int \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} + 1} d x = e^{x} - ln (e^{x} + 1) + c

Si scrive $e^{2 x} = e^{x} \cdot e^{x}$ . Uno dei due fattori, con $d x$ , forma il differenziale $d t = e^{x} d x$ della nuova variabile $t = e^{x}$ , e l’altro diventa $t$ . Si ottiene la funzione razionale $\frac{t}{t + 1}$ , che ha numeratore e denominatore dello stesso grado. Scrivendo $t = (t + 1) - 1$ si separa il quoziente in $1 - \frac{1}{t + 1}$ , i cui termini sono integrali immediati. Poiché $t + 1 = e^{x} + 1 > 0$ , il logaritmo non richiede il valore assoluto. Tornando alla variabile $x$ si ottiene il risultato.

Esercizio 4

Calcolare

\int_{0}^{3} \frac{x}{x + 1} d x .

t = x + 1, x = t^{2} - 1, d x = 2 t d t, x = 0 \mapsto t = 1, x = 3 \mapsto t = 2

\int_{0}^{3} \frac{x}{x + 1} d x = \int_{1}^{2} \frac{t ^{2} - 1}{t} 2 t d t = 2 \int_{1}^{2} (t^{2} - 1) d t = 2 [\frac{t ^{3}}{3} - t]_{1}^{2} = 2 [(\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1)] = 2 (\frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{8}{3}

Si pone $t = x + 1$ per eliminare la radice; elevando al quadrato si ricava $x = t^{2} - 1$ , e quindi $d x = 2 t d t$ . Trattandosi di un integrale definito, si cambiano anche gli estremi; per $x = 0$ si ha $t = 1 = 1$ , per $x = 3$ si ha $t = 4 = 2$ . Il fattore $t$ al denominatore si semplifica con quello di $2 t$ , e resta il polinomio $2 (t^{2} - 1)$ . Con la formula fondamentale del calcolo si calcola la differenza dei valori della primitiva negli estremi $2$ e $1$ , senza tornare alla variabile $x$ . L’integrale vale $\frac{8}{3}$ , ed è positivo come deve essere, perché l’integranda è positiva su $(0, 3]$ .