Esercizi svolti · Scheda 1

Integrali immediati e in forma composta

Teoria usata: Integrale indefinito Integrali immediati Integrali immediati in forma composta Primitive di una stessa funzione

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Esercizio 1

Calcolare

\int \left( 6x^2 - 4x + 3 - \frac{2}{x} \right) dx .

\begin{aligned} \int \left( 6x^2 - 4x + 3 - \frac{2}{x} \right) dx &= 6 \int x^2\,dx - 4 \int x\,dx + 3 \int dx - 2 \int \frac{1}{x}\,dx \\[6pt] &= 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x - 2 \ln \lvert x \rvert + c \\[6pt] &= 2x^3 - 2x^2 + 3x - 2 \ln \lvert x \rvert + c \end{aligned}

Per la linearità dell’integrale indefinito si integra ogni termine separatamente, portando fuori le costanti moltiplicative. Le potenze $x^2$ e $x$ si integrano con la formula $\dfrac{x^{a + 1}}{a + 1}$ , la costante $3$ ha primitiva $3x$ , e il termine $\dfrac{1}{x}$ , che è l’unica potenza esclusa da quella formula, ha primitiva $\ln \lvert x \rvert$ . Le costanti dei singoli integrali si riuniscono in un’unica costante $c$ . Come controllo, la derivata del risultato è $6x^2 - 4x + 3 - \dfrac{2}{x}$ , cioè l’integranda.

Esercizio 2

Calcolare, per $x > 0$ ,

\int \frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}}\,dx .

\frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{3}{2}} + 2\,x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}

\begin{aligned} \int \left( x^{\frac{3}{2}} + 2\,x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} \right) dx &= \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\dfrac{5}{2}} + 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\dfrac{1}{2}} + c \\[6pt] &= \frac{2}{5}\,x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3}\,x^{\frac{3}{2}} + 2\sqrt{x} + c \end{aligned}

Il quoziente non ha una primitiva immediata, quindi prima lo si trasforma in una somma di potenze. Si sviluppa il quadrato del binomio e si divide ogni termine per $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ , sottraendo $\dfrac{1}{2}$ agli esponenti. Ogni potenza ha esponente diverso da $-1$ , perciò si integra con la formula delle potenze, e dividere per $\dfrac{5}{2}$ , $\dfrac{3}{2}$ , $\dfrac{1}{2}$ equivale a moltiplicare per $\dfrac{2}{5}$ , $\dfrac{2}{3}$ , $2$ . L’ultimo termine si riscrive come $2\sqrt{x}$ .

Esercizio 3

Calcolare

\text{(a)} \ \int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 5}\,dx, \qquad \text{(b)} \ \int x \left( x^2 - 4 \right)^5 dx .

\text{(a)} \quad \left( x^2 + x + 5 \right)' = 2x + 1, \qquad \int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 5}\,dx = \ln\left( x^2 + x + 5 \right) + c

\text{(b)} \quad \int x \left( x^2 - 4 \right)^5 dx = \frac{1}{2} \int 2x \left( x^2 - 4 \right)^5 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\left( x^2 - 4 \right)^6}{6} + c = \frac{\left( x^2 - 4 \right)^6}{12} + c

Nel primo integrale il numeratore è esattamente la derivata del denominatore, quindi l’integrale ha la forma composta $\displaystyle\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln \lvert g(x) \rvert + c$ con $g(x) = x^2 + x + 5$ . Il discriminante di $g$ è $1 - 20 < 0$ e il coefficiente di $x^2$ è positivo, perciò $g(x) > 0$ per ogni $x$ e il valore assoluto si può omettere.

Nel secondo integrale compare la potenza $g(x)^5$ con $g(x) = x^2 - 4$ , la cui derivata è $2x$ . Il fattore $x$ presente nell’integranda è la derivata a meno del fattore $2$ , quindi si moltiplica e si divide per $2$ e si applica la forma composta $\displaystyle\int g^{a}\,g'\,dx = \dfrac{g^{a + 1}}{a + 1} + c$ con $a = 5$ . Derivando il risultato si ottiene $\dfrac{6\left( x^2 - 4 \right)^5 \cdot 2x}{12} = x \left( x^2 - 4 \right)^5$ , come deve essere.

Esercizio 4

Determinare la primitiva $F$ di

f(x) = \frac{6x}{3x^2 + 1} + e^{2x}

tale che $F(0) = 3$ .

\int \left( \frac{6x}{3x^2 + 1} + e^{2x} \right) dx = \ln\left( 3x^2 + 1 \right) + \frac{e^{2x}}{2} + c

F(0) = \ln 1 + \frac{1}{2} + c = \frac{1}{2} + c = 3 \iff c = \frac{5}{2}

F(x) = \ln\left( 3x^2 + 1 \right) + \frac{e^{2x}}{2} + \frac{5}{2}

La derivata di $3x^2 + 1$ è $6x$ , quindi il primo termine ha la forma composta $\dfrac{g'}{g}$ e ha primitiva $\ln\left( 3x^2 + 1 \right)$ , senza valore assoluto perché $3x^2 + 1 > 0$ . Il secondo termine ha la forma $e^{g(x)}\,g'(x)$ con $g(x) = 2x$ a meno del fattore $2$ , perciò la sua primitiva è $\dfrac{e^{2x}}{2}$ . Per il teorema sulle primitive di una stessa funzione, tutte le primitive di $f$ si ottengono aggiungendo una costante $c$ , e la condizione $F(0) = 3$ ne individua una sola. Poiché $\ln 1 = 0$ ed $e^{0} = 1$ , la condizione diventa $\dfrac{1}{2} + c = 3$ , quindi $c = \dfrac{5}{2}$ .