Esercizi svolti · Scheda 3

Integrali definiti e teorema fondamentale del calcolo

Teoria usata: Formula fondamentale del calcolo integrale Integrale e area Proprietà dell'integrale definito Teorema della media integrale Funzione integrale Teorema fondamentale del calcolo integrale

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Esercizio 1

Calcolare

\int_1^4 \left( 3\sqrt{x} - \frac{1}{x^2} \right) dx .

\int \left( 3\,x^{\frac{1}{2}} - x^{-2} \right) dx = 3 \cdot \frac{2}{3}\,x^{\frac{3}{2}} + x^{-1} + c = 2\,x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x} + c

\begin{aligned} \int_1^4 \left( 3\sqrt{x} - \frac{1}{x^2} \right) dx &= \left[ 2\,x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x} \right]_1^4 = \left( 2 \cdot 8 + \frac{1}{4} \right) - (2 + 1) \\[6pt] &= \frac{65}{4} - 3 = \frac{53}{4} \end{aligned}

Per la formula fondamentale del calcolo basta una primitiva dell’integranda, che è continua su $[1, 4]$ . Scrivendo la radice e il reciproco come potenze, la primitiva si trova con la formula delle potenze; la costante $c$ si può omettere, perché si elide nella differenza. Nel calcolo $4^{\frac{3}{2}} = \left( \sqrt{4} \right)^3 = 8$ . Si sottrae il valore in $1$ dal valore in $4$ , e si ottiene $\dfrac{53}{4}$ .

Esercizio 2

Calcolare $\displaystyle\int_0^3 \left( x^2 - 2x \right) dx$ e l’area della regione compresa tra il grafico di $f(x) = x^2 - 2x$ e l’asse $x$ per $0 \leq x \leq 3$ .

\int_0^3 \left( x^2 - 2x \right) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_0^3 = 9 - 9 = 0

x^2 - 2x = x\,(x - 2) < 0 \ \text{ per } 0 < x < 2, \qquad x^2 - 2x > 0 \ \text{ per } 2 < x \leq 3

\int_0^2 \left( 2x - x^2 \right) dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

\int_2^3 \left( x^2 - 2x \right) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_2^3 = 0 - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) = \frac{4}{3}

A = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

y = x^2 - 2x

Le due regioni tra

y = x^{2} - 2 x

e l'asse

x

hanno entrambe area

\frac{4}{3}

, quindi l'integrale su

[0, 3]

vale

0

e l'area vale

\frac{8}{3}

L’integrale si calcola con la formula fondamentale e vale $0$ . Questo non significa che l’area sia nulla, perché l’integrale conta con il segno meno le parti di regione che stanno sotto l’asse. La funzione $x\,(x - 2)$ è negativa tra i due zeri $0$ e $2$ e positiva per $x > 2$ . Si spezza quindi l’intervallo in $x = 2$ e, per l’additività, si calcola l’area di ciascuna parte con l’integrale della funzione positiva: sul primo tratto $2x - x^2$ , sul secondo $x^2 - 2x$ . Le due aree valgono entrambe $\dfrac{4}{3}$ , quindi l’integrale, che è la loro differenza, è $0$ , e l’area, che è la loro somma, è $\dfrac{8}{3}$ .

Esercizio 3

Calcolare la media integrale di $f(x) = 6x - 3x^2$ sull’intervallo $[0, 2]$ e determinare i punti $c \in [0, 2]$ in cui $f(c)$ è uguale alla media.

\frac{1}{2 - 0} \int_0^2 \left( 6x - 3x^2 \right) dx = \frac{1}{2} \Big[ 3x^2 - x^3 \Big]_0^2 = \frac{1}{2}\,(12 - 8) = 2

6c - 3c^2 = 2 \iff 3c^2 - 6c + 2 = 0 \iff c = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

c_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}42, \qquad c_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}58

La media integrale è l’integrale diviso per l’ampiezza dell’intervallo, qui $2$ , e vale $2$ . La funzione è continua su $[0, 2]$ , quindi il teorema della media integrale garantisce che esiste almeno un punto in cui $f$ assume il valore $2$ . Per trovarlo si risolve l’equazione di secondo grado $f(c) = 2$ . Il discriminante è $36 - 24 = 12$ e $\dfrac{\sqrt{12}}{6} = \dfrac{2\sqrt{3}}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ . Entrambe le soluzioni, circa $0{,}42$ e $1{,}58$ , stanno in $[0, 2]$ , perciò i punti richiesti sono due; il teorema assicura l’esistenza di almeno un punto, e non la sua unicità.

Esercizio 4

Sia

F(x) = \int_0^x \left( t^2 - 4t + 3 \right) e^{-t}\,dt, \qquad x \in \mathbb{R} .

Calcolare $F(0)$ e $F'(x)$ , determinare gli intervalli in cui $F$ cresce e decresce e i suoi punti di massimo e minimo relativo.

F(0) = \int_0^0 \left( t^2 - 4t + 3 \right) e^{-t}\,dt = 0

F'(x) = \left( x^2 - 4x + 3 \right) e^{-x} = (x - 1)(x - 3)\,e^{-x}

	$x < 1$	$1 < x < 3$	$x > 3$
$x - 1$	$-$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$+$
$F'(x)$	$+$	$-$	$+$
$F$	crescente	decrescente	crescente

x = 1 \ \text{ punto di massimo relativo}, \qquad x = 3 \ \text{ punto di minimo relativo}

Un integrale con estremi uguali vale $0$ , quindi $F(0) = 0$ . L’integranda è continua su $\mathbb{R}$ , perciò per il teorema fondamentale del calcolo integrale la funzione integrale è derivabile e la sua derivata è l’integranda calcolata in $x$ ; non serve calcolare l’integrale. Il fattore $e^{-x}$ è sempre positivo, quindi il segno di $F'$ è quello del polinomio $(x - 1)(x - 3)$ , positivo fuori da $[1, 3]$ e negativo dentro. Per il criterio del segno della derivata e monotonia, $F$ è crescente su $(-\infty, 1]$ e su $[3, +\infty)$ e decrescente su $[1, 3]$ . Di conseguenza $x = 1$ , dove $F$ passa da crescente a decrescente, è un punto di massimo relativo, e $x = 3$ è un punto di minimo relativo.

Per controllo, una primitiva dell’integranda è $-(t - 1)^2\,e^{-t}$ , come si verifica derivando; perciò $F(x) = 1 - (x - 1)^2\,e^{-x}$ , con $F(1) = 1$ e $F(3) = 1 - 4e^{-3} \approx 0{,}80$ .