Esercizi svolti · Scheda 2

Curve di livello

Teoria usata: Curve di livello Grafico di una funzione di due variabili

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Determinare le curve di livello di $f (x, y) = 2 x - y$ e la curva di livello che passa per il punto $(1, 3)$ .

2 x - y = k ⟺ y = 2 x - k, k \in R

f (1, 3) = 2 - 3 = - 1 ⟹ L_{- 1} : y = 2 x + 1

La curva di livello $k$ è formata dai punti in cui $f$ vale $k$ , quindi si risolve l’equazione $2 x - y = k$ rispetto a $y$ . Per ogni $k$ si ottiene la retta $y = 2 x - k$ , di pendenza $2$ e intercetta $- k$ . Le curve di livello sono perciò rette parallele, una per ogni valore reale di $k$ , e nessuna è vuota. Al crescere di $k$ l’intercetta diminuisce, quindi le rette dei livelli più alti stanno più in basso.

Il punto $(1, 3)$ sta sulla curva di livello uguale al valore di $f$ in quel punto, cioè $k = - 1$ , che è la retta $y = 2 x + 1$ . Come controllo, $2 \cdot 1 + 1 = 3$ . Il grafico di $f$ è il piano $z = 2 x - y$ , e le sue sezioni orizzontali sono rette, come si è trovato.

Esercizio 2

Determinare le curve di livello di $f (x, y) = y - x^{2}$ e disegnare quelle che passano per i punti $(0, 0)$ e $(1, 3)$ .

y - x^{2} = k ⟺ y = x^{2} + k, k \in R

f (0, 0) = 0 ⟹ L_{0} : y = x^{2}

f (1, 3) = 3 - 1 = 2 ⟹ L_{2} : y = x^{2} + 2

y = x^2

y = x^2 + 2

Le curve di livello

0

2

f (x, y) = y - x^{2}

sono la parabola

y = x^{2}

e la stessa parabola traslata verso l'alto di

2

Risolvendo l’equazione $y - x^{2} = k$ rispetto a $y$ si ottiene la parabola $y = x^{2} + k$ , con vertice in $(0, k)$ e concavità verso l’alto. Le curve di livello sono quindi parabole tutte uguali, traslate in verticale una rispetto all’altra; per ogni $k$ la curva esiste, perché la parabola $y = x^{2} + k$ è definita per ogni $x$ . Il livello cresce salendo, perché, a $x$ fissato, $f$ cresce al crescere di $y$ .

Il valore di $f$ nel punto $(0, 0)$ è $0$ , quindi la curva per l’origine è la parabola $y = x^{2}$ . Nel punto $(1, 3)$ la funzione vale $2$ , quindi la curva per $(1, 3)$ è $y = x^{2} + 2$ ; infatti $1^{2} + 2 = 3$ . Le due curve non hanno punti in comune, come succede per ogni coppia di livelli diversi.

Esercizio 3

Determinare le curve di livello di $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 4 x$ , la curva di livello che passa per $(3, 2)$ e il valore minimo di $f$ .

x^{2} - 4 x + y^{2} = k ⟺ (x - 2)^{2} + y^{2} = 4 + k

$k < - 4$ : nessun punto, $L_{k} = \emptyset$ ;
$k = - 4$ : il solo punto $(2, 0)$ ;
$k > - 4$ : la circonferenza di centro $(2, 0)$ e raggio $4 + k$ .

f (3, 2) = 9 + 4 - 12 = 1 ⟹ L_{1} : (x - 2)^{2} + y^{2} = 5

f (x, y) = (x - 2)^{2} + y^{2} - 4 \geq - 4, min f = f (2, 0) = - 4

(x - 2)^2 + y^2 = 1

(x - 2)^2 + y^2 = 5

Le curve di livello

k = - 3

k = 1

f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 4 x

sono circonferenze di centro

(2, 0)

; la seconda passa per

(3, 2)

Per riconoscere la curva si completa il quadrato nei termini in $x$ , cioè si aggiunge e si toglie $4$ , e si ottiene $x^{2} - 4 x = (x - 2)^{2} - 4$ . L’equazione della curva di livello diventa $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4 + k$ . Il primo membro è il quadrato della distanza del punto $(x, y)$ da $(2, 0)$ , che non è mai negativo. Quindi per $4 + k < 0$ la curva è vuota, per $4 + k = 0$ è formata dal solo centro, e per $4 + k > 0$ è la circonferenza di centro $(2, 0)$ e raggio $4 + k$ .

Il punto $(3, 2)$ appartiene alla curva di livello $k = f (3, 2) = 1$ , che è la circonferenza di raggio $5$ . Le curve di livello sono vuote per $k < - 4$ , quindi $f$ non assume valori minori di $- 4$ ; il valore $- 4$ è assunto nel punto $(2, 0)$ . Perciò il valore minimo di $f$ è $- 4$ , come conferma la scrittura $f (x, y) = (x - 2)^{2} + y^{2} - 4$ , somma di due quadrati e di $- 4$ .