Esercizi svolti · Scheda 1

Domini di funzioni di due variabili

Teoria usata: Dominio naturale Punti interni e di frontiera Insiemi aperti, chiusi e limitati

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Esercizio 1

Determinare il dominio naturale di

f(x, y) = \ln(2x - y + 4)

e dire se è un insieme aperto, chiuso, limitato.

2x - y + 4 > 0 \iff y < 2x + 4

(0, 0) : \quad 2 \cdot 0 - 0 + 4 = 4 > 0

D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : y < 2x + 4 \}

y = 2x + 4

Il dominio di

ln (2 x - y + 4)

è il semipiano sotto la retta

y = 2 x + 4

, retta esclusa (tratteggiata)

L’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo, quindi l’unica condizione è $2x - y + 4 > 0$ , che equivale a $y < 2x + 4$ . La retta $y = 2x + 4$ divide il piano in due semipiani. L’origine non sta sulla retta e la soddisfa, perché $4 > 0$ , perciò il dominio è il semipiano che contiene l’origine, cioè quello che sta sotto la retta.

La frontiera del dominio è la retta, che non appartiene al dominio perché la disuguaglianza è stretta. Il dominio non contiene nessuno dei suoi punti di frontiera, quindi è aperto; non è chiuso, perché i punti della retta sono di frontiera e non gli appartengono. Il semipiano contiene i punti $(x, 0)$ con $x > -2$ , che si allontanano quanto si vuole dall’origine, quindi non è limitato.

Esercizio 2

Determinare il dominio naturale di

f(x, y) = \ln(x^2 + y^2 - 1) + \sqrt{4 - x^2 - y^2}

e dire se è un insieme aperto, chiuso, limitato.

\begin{cases} x^2 + y^2 - 1 > 0 \\[4pt] 4 - x^2 - y^2 \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2 + y^2 > 1 \\[4pt] x^2 + y^2 \leq 4 \end{cases}

D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : 1 < x^2 + y^2 \leq 4 \}

x^2 + y^2 = 4

x^2 + y^2 = 1

Il dominio è la corona

1 < x^{2} + y^{2} \leq 4

; la circonferenza esterna appartiene al dominio (linea continua), quella interna no (tratteggiata)

Il logaritmo richiede un argomento strettamente positivo e la radice un argomento maggiore o uguale a zero; le due condizioni devono valere insieme, quindi si scrivono in sistema. La quantità $x^2 + y^2$ è il quadrato della distanza di $(x, y)$ dall’origine. La prima condizione dice perciò che il punto dista dall’origine più di $1$ , cioè sta fuori dal cerchio di raggio $1$ ; la seconda dice che dista al più $2$ , cioè sta nel cerchio di raggio $2$ , circonferenza compresa. Il dominio è la corona circolare compresa tra le due circonferenze.

La frontiera è formata dalle due circonferenze. Il dominio contiene i punti della circonferenza esterna, che sono di frontiera, quindi non è aperto; non contiene i punti della circonferenza interna, che sono anch’essi di frontiera, quindi non è chiuso. Il dominio è perciò né aperto né chiuso. Ogni suo punto dista dall’origine al più $2$ , quindi è limitato.

Esercizio 3

Determinare il dominio naturale di

f(x, y) = \frac{\sqrt{y - x^2}}{\ln(4 - y)}

e dire se è un insieme aperto, chiuso, limitato.

\begin{cases} y - x^2 \geq 0 \\[4pt] 4 - y > 0 \\[4pt] \ln(4 - y) \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} y \geq x^2 \\[4pt] y < 4 \\[4pt] y \neq 3 \end{cases}

D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 \leq y < 4, \ y \neq 3 \}

y = x^2

Il dominio è la regione tra la parabola

y = x^{2}

(compresa) e la retta

y = 4

(esclusa), privata del segmento sulla retta

y = 3

Le condizioni vengono dai tre elementi della formula. La radice al numeratore richiede $y - x^2 \geq 0$ , cioè che il punto stia sopra la parabola $y = x^2$ o su di essa. Il logaritmo richiede $4 - y > 0$ , cioè $y < 4$ . Il logaritmo sta al denominatore, quindi deve anche essere diverso da zero. Poiché $\ln u = 0$ solo per $u = 1$ , la condizione $\ln(4 - y) \neq 0$ equivale a $4 - y \neq 1$ , cioè $y \neq 3$ .

Il dominio è la regione compresa tra la parabola e la retta $y = 4$ , dalla quale si toglie il segmento della retta $y = 3$ interno alla regione, con estremi $\left( \pm\sqrt{3}, 3 \right)$ . Il dominio contiene i punti della parabola, che sono di frontiera, quindi non è aperto. Non contiene il punto $(0, 4)$ , che è di frontiera perché ogni suo intorno contiene punti del dominio sotto la retta e punti con $y > 4$ , quindi non è chiuso. Il dominio è perciò né aperto né chiuso. Nel dominio $x^2 \leq y < 4$ , quindi $|x| < 2$ e $0 \leq y < 4$ , e il dominio è limitato, perché è contenuto nel rettangolo $[-2, 2] \times [0, 4]$ .