Esercizi svolti · Scheda 3

Derivate parziali e gradiente

Teoria usata: Derivate parziali Gradiente

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Esercizio 1

Calcolare le derivate parziali di $f (x, y) = 3 x^{2} y - 2 x y^{3} + 5 x$ e il gradiente nel punto $(1, - 1)$ .

f_{x} (x, y) = 6 x y - 2 y^{3} + 5, f_{y} (x, y) = 3 x^{2} - 6 x y^{2}

f_{x} (1, - 1) = - 6 + 2 + 5 = 1, f_{y} (1, - 1) = 3 - 6 = - 3

\nabla f (1, - 1) = (1, - 3)

Nel calcolo di $f_{x}$ la variabile $y$ si tratta come una costante. Il termine $3 x^{2} y$ è la costante $3 y$ per $x^{2}$ , quindi ha derivata $6 x y$ ; il termine $- 2 x y^{3}$ è la costante $- 2 y^{3}$ per $x$ , quindi ha derivata $- 2 y^{3}$ ; il termine $5 x$ ha derivata $5$ . Nel calcolo di $f_{y}$ si tratta come costante la $x$ . Il termine $3 x^{2} y$ ha derivata $3 x^{2}$ , il termine $- 2 x y^{3}$ ha derivata $- 6 x y^{2}$ , e il termine $5 x$ , che non contiene $y$ , ha derivata $0$ .

Si sostituisce poi $(x, y) = (1, - 1)$ , tenendo conto che $(- 1)^{3} = - 1$ e $(- 1)^{2} = 1$ . Il gradiente è il vettore delle due derivate parziali, $(1, - 3)$ .

Esercizio 2

Calcolare le derivate parziali di $f (x, y) = x e^{2 y} + ln (x + y^{2})$ e il gradiente nel punto $(1, 0)$ .

f_{x} (x, y) = e^{2 y} + \frac{1}{x + y ^{2}}, f_{y} (x, y) = 2 x e^{2 y} + \frac{2 y}{x + y ^{2}}

f_{x} (1, 0) = 1 + 1 = 2, f_{y} (1, 0) = 2 + 0 = 2

\nabla f (1, 0) = (2, 2)

La funzione è definita dove $x + y^{2} > 0$ , e il punto $(1, 0)$ soddisfa la condizione, perché $1 > 0$ . Rispetto a $x$ , il termine $x e^{2 y}$ è $x$ moltiplicato per la costante $e^{2 y}$ , quindi ha derivata $e^{2 y}$ . Il logaritmo si deriva con la regola della funzione composta, secondo la quale la derivata di $ln u$ è $\frac{u ^{'}}{u}$ , e la derivata di $u = x + y^{2}$ rispetto a $x$ è $1$ .

Rispetto a $y$ , il fattore $x$ è costante e la derivata di $e^{2 y}$ è $2 e^{2 y}$ , quindi il primo termine dà $2 x e^{2 y}$ ; la derivata di $x + y^{2}$ rispetto a $y$ è $2 y$ , quindi il secondo dà $\frac{2 y}{x + y ^{2}}$ . Nel punto $(1, 0)$ si ha $e^{0} = 1$ e $x + y^{2} = 1$ , e il gradiente è $(2, 2)$ .

Esercizio 3

Calcolare le derivate parziali di $f (x, y) = \frac{x - y}{x ^{2} + y ^{2}}$ e il gradiente nel punto $(1, 1)$ .

f_{x} (x, y) = \frac{1 \cdot ( x ^{2} + y ^{2} ) - ( x - y ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = \frac{- x ^{2} + 2 x y + y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

f_{y} (x, y) = \frac{( - 1 ) \cdot ( x ^{2} + y ^{2} ) - ( x - y ) \cdot 2 y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = \frac{- x ^{2} - 2 x y + y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

f_{x} (1, 1) = \frac{- 1 + 2 + 1}{4} = \frac{1}{2}, f_{y} (1, 1) = \frac{- 1 - 2 + 1}{4} = - \frac{1}{2}

\nabla f (1, 1) = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

La funzione è definita fuori dall’origine, dove il denominatore si annulla. È un quoziente, quindi si applica la regola del quoziente, una volta rispetto a $x$ e una volta rispetto a $y$ . Rispetto a $x$ la derivata del numeratore $x - y$ è $1$ e quella del denominatore $x^{2} + y^{2}$ è $2 x$ . Sviluppando il numeratore si ha $x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} + 2 x y = - x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .

Rispetto a $y$ la derivata del numeratore è $- 1$ e quella del denominatore è $2 y$ . Il numeratore diventa $- x^{2} - y^{2} - 2 x y + 2 y^{2} = - x^{2} - 2 x y + y^{2}$ . Nel punto $(1, 1)$ il denominatore vale $(1 + 1)^{2} = 4$ , e si ottiene il gradiente $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ .

Esercizio 4

Calcolare le derivate parziali di $f (x, y) = x^{y}$ , definita per $x > 0$ , e il gradiente nel punto $(2, 3)$ .

f_{x} (x, y) = y x^{y - 1}, f_{y} (x, y) = x^{y} ln x

f_{x} (2, 3) = 3 \cdot 2^{2} = 12, f_{y} (2, 3) = 2^{3} ln 2 = 8 ln 2

\nabla f (2, 3) = (12, 8 ln 2)

Le due derivate parziali richiedono due formule diverse, perché la variabile si trova una volta nella base e una volta nell’esponente. Nel calcolo di $f_{x}$ l’esponente $y$ è una costante, quindi $x^{y}$ è una potenza e la sua derivata è $y x^{y - 1}$ . Nel calcolo di $f_{y}$ la base $x$ è una costante positiva, quindi $x^{y}$ è un’esponenziale di base $x$ e la sua derivata è $x^{y} ln x$ , secondo la tabella delle derivate delle funzioni elementari.

Nel punto $(2, 3)$ si ottiene $f_{x} = 3 \cdot 4 = 12$ e $f_{y} = 8 ln 2 \approx 5, 55$ . Lo scambio delle due formule è un errore frequente, e si evita stabilendo, prima di derivare, quale delle due lettere si tiene ferma.