Esercizi svolti · Scheda 2

Derivate di prodotti e quozienti

Teoria usata: Regole di derivazione Derivate delle funzioni elementari

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Esercizio 1

Calcolare la derivata di $f(x) = (x^3 - 2x)\,e^{x}$ .

\begin{aligned} f'(x) &= (3x^2 - 2)\,e^{x} + (x^3 - 2x)\,e^{x} \\[6pt] &= (x^3 + 3x^2 - 2x - 2)\,e^{x} \end{aligned}

La funzione è il prodotto di un polinomio per un esponenziale, quindi si applica la regola del prodotto: derivata del primo fattore per il secondo, più il primo fattore per la derivata del secondo. La derivata di $x^3 - 2x$ è $3x^2 - 2$ e quella di $e^{x}$ è $e^{x}$ stessa. Raccogliendo $e^{x}$ , che è sempre positivo, il segno della derivata è il segno del polinomio $x^3 + 3x^2 - 2x - 2$ ; la forma raccolta è quella utile nello studio di funzione.

Esercizio 2

Calcolare la derivata di $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ .

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x\,(x - 3) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 3)^2} \\[6pt] &= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x - 3)^2} \\[6pt] &= \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2} \end{aligned}

Per un quoziente si usa la regola del quoziente: al numeratore la derivata del numeratore per il denominatore, meno il numeratore per la derivata del denominatore, e al denominatore il quadrato del denominatore. L’ordine dei due termini al numeratore conta, perché scambiandoli il segno cambia. Sviluppando e sommando i termini simili si ottiene $x^2 - 6x - 1$ . Il denominatore $(x - 3)^2$ si lascia in forma di quadrato; poiché è positivo per $x \neq 3$ , il segno di $f'$ è quello del numeratore.

Esercizio 3

Calcolare la derivata di $f(x) = x \ln x$ e trovare il punto in cui la tangente al grafico è orizzontale.

f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1, \qquad x > 0

f'(x) = 0 \iff \ln x = -1 \iff x = e^{-1} = \frac{1}{e}

f\left( \frac{1}{e} \right) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}

y = x \ln x

Il grafico di

x ln x

ha tangente orizzontale nel punto

(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})

La funzione è definita per $x > 0$ , dove esiste il logaritmo. Con la regola del prodotto il primo fattore $x$ ha derivata $1$ , e il secondo $\ln x$ ha derivata $\dfrac{1}{x}$ , che moltiplicata per $x$ dà $1$ . La tangente è orizzontale dove la pendenza è nulla, cioè dove $f'(x) = 0$ ; l’equazione $\ln x = -1$ si risolve applicando l’esponenziale ai due membri. Il punto cercato è $\left( \dfrac{1}{e},\ -\dfrac{1}{e} \right)$ , cioè circa $(0{,}368;\ -0{,}368)$ .