Esercizi svolti · Scheda 1

Derivate con la definizione e rette tangenti

Teoria usata: Derivata in un punto Retta tangente

Esercizio 1

Calcolare con la definizione la derivata di $f (x) = \frac{1}{x}$ nel punto $x_{0} = 2$ e scrivere la retta tangente al grafico in quel punto.

\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = \frac{1}{h} (\frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{h} \cdot \frac{2 - ( 2 + h )}{2 ( 2 + h )} = - \frac{1}{2 ( 2 + h )}

f^{'} (2) = h \to 0 lim (- \frac{1}{2 ( 2 + h )}) = - \frac{1}{4}

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (x - 2) = - \frac{x}{4} + 1

y = \dfrac{1}{x}

y = -\dfrac{x}{4} + 1

La tangente al grafico di

\frac{1}{x}

nel punto

(2, \frac{1}{2})

ha pendenza

- \frac{1}{4}

Il rapporto incrementale confronta il valore di $f$ in $2 + h$ con quello in $2$ , diviso per $h$ . Riducendo allo stesso denominatore la differenza delle due frazioni, al numeratore resta $- h$ , che si semplifica con il $\frac{1}{h}$ davanti. Prima della semplificazione il limite era nella forma $\frac{0}{0}$ ; dopo, si calcola sostituendo $h = 0$ e dà $- \frac{1}{4}$ . La retta tangente passa per il punto $(2, \frac{1}{2})$ con pendenza $- \frac{1}{4}$ , ed è $y = - \frac{x}{4} + 1$ . La pendenza è negativa, coerente con il fatto che $\frac{1}{x}$ decresce per $x > 0$ .

Esercizio 2

Calcolare con la definizione la derivata di $f (x) = x$ nel punto $x_{0} = 9$ e scrivere la retta tangente. Usarla per approssimare $9, 6$ .

\frac{9 + h - 3}{h} = \frac{( 9 + h - 3 ) ( 9 + h + 3 )}{h ( 9 + h + 3 )} = \frac{9 + h - 9}{h ( 9 + h + 3 )} = \frac{1}{9 + h + 3}

f^{'} (9) = h \to 0 lim \frac{1}{9 + h + 3} = \frac{1}{6}

y = 3 + \frac{1}{6} (x - 9), 9, 6 \approx 3 + \frac{0 , 6}{6} = 3, 1

Il rapporto incrementale contiene una differenza tra una radice e un numero, e per $h \to 0$ è nella forma $\frac{0}{0}$ . Si razionalizza moltiplicando numeratore e denominatore per $9 + h + 3$ ; così il numeratore diventa $h$ e si semplifica. Il limite vale $\frac{1}{6}$ , in accordo con la formula $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ . La retta tangente in $(9, 3)$ ha pendenza $\frac{1}{6}$ . Vicino a $9$ il grafico e la tangente sono quasi sovrapposti, quindi il valore della tangente in $9, 6$ , cioè $3, 1$ , approssima $9, 6 = 3, 098 \dots$