Esercizi svolti · Scheda 3

Derivate di funzioni composte

Teoria usata: Regole di derivazione Derivate delle funzioni elementari

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Esercizio 1

Calcolare la derivata di $f (x) = (3 x^{2} + 1)^{5}$ e di $g (x) = ln (x^{2} + 4)$ .

f^{'} (x) = 5 (3 x^{2} + 1)^{4} \cdot 6 x = 30 x (3 x^{2} + 1)^{4}

g^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2} + 4} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x ^{2} + 4}

Entrambe sono funzioni composte: in $f$ la funzione interna è $3 x^{2} + 1$ e quella esterna è la potenza quinta; in $g$ la funzione interna è $x^{2} + 4$ e quella esterna è il logaritmo. Per la regola della funzione composta si deriva la funzione esterna lasciando invariata quella interna, e si moltiplica per la derivata della funzione interna. Per $f$ la potenza dà $5 (3 x^{2} + 1)^{4}$ e la funzione interna ha derivata $6 x$ . Per $g$ il logaritmo dà $\frac{1}{x ^{2} + 4}$ e la funzione interna ha derivata $2 x$ . Sviluppare $(3 x^{2} + 1)^{5}$ prima di derivare darebbe lo stesso risultato con molti più conti.

Esercizio 2

Calcolare la derivata di $f (x) = 1 - x^{2}$ , con il suo dominio di derivabilità.

f (x) = (1 - x^{2})^{\frac{1}{2}}, f^{'} (x) = \frac{1}{2} (1 - x^{2})^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x) = - \frac{x}{1 - x ^{2}}

- 1 < x < 1

La radice si scrive come potenza di esponente $\frac{1}{2}$ , così la funzione esterna è una potenza e la funzione interna è $1 - x^{2}$ . Per la regola della funzione composta la derivata della potenza, $\frac{1}{2} (1 - x^{2})^{- \frac{1}{2}}$ , si moltiplica per $- 2 x$ , e semplificando il $2$ si ottiene $- \frac{x}{1 - x ^{2}}$ . La funzione è definita per $- 1 \leq x \leq 1$ , ma la derivata ha la radice al denominatore, quindi richiede $1 - x^{2} > 0$ ; perciò negli estremi $\pm 1$ la funzione non è derivabile, e il grafico, una semicirconferenza, ha lì la tangente verticale.

Esercizio 3

Calcolare la derivata di $f (x) = 2^{3 x}$ e di $g (x) = x^{2} e^{- x}$ .

f^{'} (x) = 2^{3 x} ln 2 \cdot 3 = 3 ln 2 \cdot 2^{3 x}

g^{'} (x) = 2 x e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x}) = x (2 - x) e^{- x}

In $f$ la funzione esterna è l’esponenziale di base $2$ , che nella sua variabile $u$ ha derivata $2^{u} ln 2$ , e la funzione interna è $3 x$ , con derivata $3$ . In $g$ compaiono insieme la regola del prodotto e la regola della funzione composta; in particolare il fattore $e^{- x}$ si deriva come composta e dà $e^{- x} \cdot (- 1)$ . Raccogliendo $x e^{- x}$ si ottiene la forma $x (2 - x) e^{- x}$ , dalla quale si legge che la derivata si annulla in $0$ e in $2$ .