Esercizi svolti · Scheda 2

Macchine di Carnot e limiti del rendimento

Teoria usata: Rendimento del ciclo di Carnot Teorema di Carnot Bilancio di una macchina tra due serbatoi Frigorifero e pompa di calore di Carnot Il piano TS

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Esercizio 1

Una macchina di Carnot lavora tra un serbatoio a $527^{\circ} C$ e un serbatoio a $27^{\circ} C$ e in ogni ciclo assorbe $4, 0 kJ$ dal serbatoio caldo. Calcolare il rendimento, il lavoro prodotto in un ciclo e il calore ceduto al serbatoio freddo.

T_{1} = (527 + 273) K = 800 K, T_{2} = (27 + 273) K = 300 K, Q_{1} = 4, 0 kJ

η_{C} = 1 - \frac{T _{2}}{T _{1}}, L = η_{C} Q_{1}, ∣ Q_{2} ∣ = Q_{1} - L = \frac{T _{2}}{T _{1}} Q_{1}

η_{C} = 1 - \frac{300 K}{800 K} = 0, 625

L = 0, 625 \cdot 4, 0 kJ = 2, 5 kJ, ∣ Q_{2} ∣ = \frac{300}{800} \cdot 4, 0 kJ = 1, 5 kJ

Il rendimento del ciclo di Carnot dipende solo dalle temperature dei serbatoi, che vanno espresse in kelvin, perché la formula contiene il loro rapporto; con le temperature in gradi Celsius il rapporto sarebbe diverso e il risultato sbagliato. Il lavoro è il rendimento moltiplicato per il calore assorbito. Il calore ceduto si ottiene dal bilancio del ciclo $L = Q_{1} - ∣ Q_{2} ∣$ oppure, in modo indipendente, dalla relazione $\frac{∣ Q _{2} ∣}{Q _{1}} = \frac{T _{2}}{T _{1}}$ ; i due calcoli danno lo stesso valore, e questo costituisce un controllo del risultato.

Esercizio 2

Un inventore dichiara di aver costruito un motore che lavora tra un serbatoio a $600 K$ e uno a $350 K$ e che in ogni ciclo assorbe $8, 0 kJ$ e produce $3, 6 kJ$ di lavoro. Stabilire se il motore può esistere e calcolare il massimo lavoro per ciclo compatibile con i serbatoi e con il calore assorbito.

T_{1} = 600 K, T_{2} = 350 K, Q_{1} = 8, 0 kJ, L = 3, 6 kJ

η = \frac{L}{Q _{1}}, η_{C} = 1 - \frac{T _{2}}{T _{1}}, \frac{Q _{1}}{T _{1}} + \frac{Q _{2}}{T _{2}} \leq 0

η = \frac{3 , 6}{8 , 0} = 0, 45, η_{C} = 1 - \frac{350}{600} \approx 0, 417

Q_{2} = L - Q_{1} = - 4, 4 kJ, \frac{8000 J}{600 K} - \frac{4400 J}{350 K} \approx 13, 33 J/K - 12, 57 J/K = 0, 76 J/K > 0

L_{m a x} = η_{C} Q_{1} = \frac{5}{12} \cdot 8, 0 kJ \approx 3, 3 kJ

Per il teorema di Carnot nessuna macchina tra due serbatoi può avere rendimento maggiore di quello di una macchina reversibile, cioè $η_{C} \approx 0, 417$ . Il rendimento dichiarato vale $0, 45$ e supera questo limite, quindi il motore non può esistere. Si arriva alla stessa conclusione con il bilancio di una macchina tra due serbatoi. Il calore ceduto è $4, 4 kJ$ , e la somma $\frac{Q _{1}}{T _{1}} + \frac{Q _{2}}{T _{2}}$ risulta positiva, mentre il secondo principio richiede che sia minore o uguale a zero. Il lavoro massimo si ottiene con una macchina reversibile che assorbe lo stesso calore, ed è circa $3, 3 kJ$ .

Esercizio 3

Il congelatore di una cucina mantiene l’interno a $- 18^{\circ} C$ , mentre la cucina è a $25^{\circ} C$ . Per congelare una certa quantità di cibo occorre sottrarle $1, 2 \cdot 1 0^{5} J$ . Calcolare il lavoro minimo necessario e il corrispondente calore ceduto alla cucina.

T_{2} = 255 K, T_{1} = 298 K, Q_{2} = 1, 2 \cdot 1 0^{5} J

ε_{C} = \frac{T _{2}}{T _{1} - T _{2}}, ∣ L ∣_{m i n} = \frac{Q _{2}}{ε _{C}} = Q_{2} \frac{T _{1} - T _{2}}{T _{2}}, ∣ Q_{1} ∣ = Q_{2} + ∣ L ∣_{m i n}

ε_{C} = \frac{255}{43} \approx 5, 93

∣ L ∣_{m i n} = 1, 2 \cdot 1 0^{5} J \cdot \frac{43}{255} \approx 2, 0 \cdot 1 0^{4} J

∣ Q_{1} ∣ \approx 1, 2 \cdot 1 0^{5} J + 0, 20 \cdot 1 0^{5} J = 1, 4 \cdot 1 0^{5} J

Il congelatore è una macchina frigorifera tra il serbatoio freddo, l’interno a $255 K$ , e il serbatoio caldo, la cucina a $298 K$ . Per il teorema di Carnot l’efficienza massima è quella del frigorifero di Carnot, $\frac{T _{2}}{T _{1} - T _{2}}$ ; a parità di calore sottratto, l’efficienza massima corrisponde al lavoro minimo. Quindi il lavoro speso è almeno $2, 0 \cdot 1 0^{4} J$ . Il calore ceduto alla cucina è la somma del calore sottratto al cibo e del lavoro ricevuto. Un congelatore reale ha efficienza minore di $ε_{C}$ , e perciò spende più lavoro.

Esercizio 4

Due macchine di Carnot lavorano in serie: la prima tra un serbatoio a $T_{1} = 900 K$ e un serbatoio intermedio a temperatura $T$ , la seconda tra il serbatoio a temperatura $T$ e un serbatoio a $T_{3} = 300 K$ , e in ogni ciclo la seconda assorbe esattamente il calore ceduto dalla prima. La prima macchina assorbe $Q_{1} = 1800 J$ per ciclo. Determinare $T$ in modo che le due macchine producano lo stesso lavoro, calcolare i due lavori e il rendimento complessivo.

L_{1} = Q_{1} (1 - \frac{T}{T _{1}}), Q = \frac{T}{T _{1}} Q_{1}, L_{2} = Q (1 - \frac{T _{3}}{T}) = Q_{1} \frac{T - T _{3}}{T _{1}}

L_{1} = L_{2} ⟺ T_{1} - T = T - T_{3} ⟺ T = \frac{T _{1} + T _{3}}{2}

T = \frac{900 K + 300 K}{2} = 600 K

L_{1} = 1800 J \cdot \frac{300}{900} = 600 J, Q = 1200 J, L_{2} = 1200 J \cdot \frac{300}{600} = 600 J

η = \frac{L _{1} + L _{2}}{Q _{1}} = \frac{1200 J}{1800 J} = \frac{2}{3} = 1 - \frac{T _{3}}{T _{1}}

Le due macchine nel piano

(S, T)

, con

T

in kelvin e

S

J/K

a meno di una costante: i rettangoli hanno la stessa base

Δ S = \frac{Q _{1}}{T _{1}} = 2, 0 J/K

e la stessa altezza

300 K

, quindi aree uguali, cioè lavori uguali

Ogni macchina è reversibile, quindi per ciascuna vale $\frac{∣ Q _{ced} ∣}{Q _{ass}} = \frac{T _{fredda}}{T _{calda}}$ . La prima cede al serbatoio intermedio il calore $Q = \frac{T}{T _{1}} Q_{1}$ , che è il calore assorbito dalla seconda; sostituendo nel lavoro della seconda macchina, $L_{2}$ risulta proporzionale a $T - T_{3}$ , mentre $L_{1}$ è proporzionale a $T_{1} - T$ . I lavori sono uguali quando i due salti di temperatura sono uguali, cioè per $T = 600 K$ . Il serbatoio intermedio riceve e cede lo stesso calore, perciò l’insieme delle due macchine equivale a una macchina reversibile tra $900 K$ e $300 K$ , e il rendimento complessivo è quello di Carnot tra le temperature estreme, $\frac{2}{3}$ . Nel piano $(S, T)$ il risultato si legge direttamente, perché le due macchine scambiano calore con la stessa variazione di entropia $\frac{1800}{900} = \frac{1200}{600} = 2, 0 J/K$ , e i loro cicli sono rettangoli con la stessa base.