Esercizi svolti · Scheda 1

Bilanci energetici di macchine termiche e frigoriferi

Teoria usata: Macchina termica Rendimento Macchina frigorifera Efficienza di frigoriferi e pompe di calore

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Esercizio 1

Una macchina termica in ogni ciclo assorbe $3, 0 kJ$ dal serbatoio caldo e cede $2, 1 kJ$ al serbatoio freddo, e compie $20$ cicli al secondo. Calcolare il lavoro prodotto in un ciclo, il rendimento e la potenza della macchina.

Q_{ass} = 3, 0 kJ, Q_{ced} = 2, 1 kJ, ν = 20 s^{- 1}

L = Q_{ass} - Q_{ced}, η = \frac{L}{Q _{ass}}, P = ν L

L = 3, 0 kJ - 2, 1 kJ = 0, 90 kJ

η = \frac{0 , 90 kJ}{3 , 0 kJ} = 0, 30

P = 20 s^{- 1} \cdot 900 J = 1, 8 \cdot 1 0^{4} W = 18 kW

La macchina percorre un ciclo, quindi la sua energia interna alla fine di ogni ciclo è uguale a quella iniziale e, per il primo principio, il lavoro prodotto è uguale al calore netto assorbito, cioè alla differenza tra il calore assorbito e il calore ceduto. Il rendimento è il rapporto tra il lavoro e il calore assorbito, quindi il $30%$ del calore preso dal serbatoio caldo diventa lavoro. Infine la macchina compie $20$ cicli in un secondo, perciò in un secondo produce un lavoro pari a $20$ volte quello di un ciclo, e la potenza è $18 kW$ .

Esercizio 2

Il motore di un’automobile ha rendimento $η = 0, 25$ e sviluppa una potenza meccanica $P = 40 kW$ . Il calore viene dalla combustione della benzina, che libera $4, 5 \cdot 1 0^{7} J$ per ogni kilogrammo bruciato. Calcolare la potenza termica assorbita, la potenza termica ceduta all’ambiente e la massa di benzina bruciata in un’ora di funzionamento.

η = 0, 25, P = 40 kW, H = 4, 5 \cdot 1 0^{7} J/kg, Δ t = 3600 s

P_{ass} = \frac{P}{η}, P_{ced} = P_{ass} - P, m = \frac{P _{ass} Δ t}{H}

P_{ass} = \frac{40 kW}{0 , 25} = 160 kW, P_{ced} = 160 kW - 40 kW = 120 kW

m = \frac{1 , 6 \cdot 1 0 ^{5} W \cdot 3600 s}{4 , 5 \cdot 1 0 ^{7} J/kg} = \frac{5 , 76 \cdot 1 0 ^{8} J}{4 , 5 \cdot 1 0 ^{7} J/kg} \approx 13 kg

Il rendimento vale anche per le potenze, poiché in uno stesso intervallo di tempo il lavoro prodotto e il calore assorbito stanno nello stesso rapporto che hanno in un ciclo. Quindi la potenza termica assorbita è la potenza meccanica divisa per il rendimento. La parte del calore assorbito che non diventa lavoro è ceduta all’ambiente, attraverso il radiatore e i gas di scarico, e vale $120 kW$ , tre volte la potenza utile. In un’ora il motore assorbe $5, 76 \cdot 1 0^{8} J$ ; poiché ogni kilogrammo di benzina ne fornisce $4, 5 \cdot 1 0^{7}$ , la massa bruciata è circa $13 kg$ . L’ordine di grandezza è realistico per un’automobile che mantiene a lungo una potenza elevata.

Esercizio 3

Un frigorifero ha efficienza $ε = 4, 0$ e assorbe dalla rete una potenza elettrica di $150 W$ , interamente trasformata in lavoro sul fluido refrigerante. Calcolare il calore sottratto all’interno e il calore ceduto alla cucina in $10$ minuti, e il tempo necessario per trasformare in ghiaccio $0, 50 kg$ d’acqua che si trova già a $0^{\circ} C$ (calore latente di fusione $λ_{f} = 3, 33 \cdot 1 0^{5} J/kg$ ).

ε = 4, 0, P = 150 W, Δ t = 600 s

ε = \frac{Q _{2}}{∣ L ∣}, ∣ Q_{1} ∣ = Q_{2} + ∣ L ∣, m λ_{f} = εP t

∣ L ∣ = P Δ t = 150 W \cdot 600 s = 9, 0 \cdot 1 0^{4} J

Q_{2} = ε ∣ L ∣ = 4, 0 \cdot 9, 0 \cdot 1 0^{4} J = 3, 6 \cdot 1 0^{5} J

∣ Q_{1} ∣ = 3, 6 \cdot 1 0^{5} J + 0, 90 \cdot 1 0^{5} J = 4, 5 \cdot 1 0^{5} J

t = \frac{m λ _{f}}{εP} = \frac{0 , 50 kg \cdot 3 , 33 \cdot 1 0 ^{5} J/kg}{4 , 0 \cdot 150 W} \approx 2, 8 \cdot 1 0^{2} s \approx 4, 6 min

Il lavoro ricevuto dal fluido in $10$ minuti è l’energia elettrica assorbita in quel tempo. Per la definizione di efficienza, il calore sottratto all’interno è $ε$ volte il lavoro speso, cioè $3, 6 \cdot 1 0^{5} J$ . In un ciclo l’energia interna del fluido non cambia, perciò il calore ceduto alla cucina è la somma del calore sottratto all’interno e del lavoro ricevuto, $4, 5 \cdot 1 0^{5} J$ ; per questo un frigorifero acceso scalda la stanza in cui si trova. Per congelare l’acqua a $0^{\circ} C$ occorre sottrarle il calore $m λ_{f}$ ; il frigorifero sottrae calore all’interno con la potenza $εP = 600 W$ , quindi il tempo richiesto è il rapporto tra le due grandezze, circa 4,6 minuti.

Esercizio 4

Una casa disperde verso l’esterno una potenza termica di $12 kW$ , e la si mantiene a temperatura costante con una pompa di calore che ha efficienza $ε_{pc} = 3, 5$ . Calcolare la potenza elettrica assorbita dalla pompa e la potenza termica prelevata dall’aria esterna, e confrontare il consumo con quello di una stufa elettrica che scalda la casa trasformando in calore tutta l’energia elettrica.

P_{1} = 12 kW, ε_{pc} = 3, 5

ε_{pc} = \frac{∣ Q _{1} ∣}{∣ L ∣} = \frac{P _{1}}{P _{el}}, P_{2} = P_{1} - P_{el}

P_{el} = \frac{P _{1}}{ε _{pc}} = \frac{12 kW}{3 , 5} \approx 3, 4 kW

P_{2} = 12 kW - 3, 43 kW \approx 8, 6 kW

\frac{P _{stufa}}{P _{el}} = \frac{12 kW}{3 , 43 kW} = ε_{pc} = 3, 5

La temperatura della casa resta costante, quindi la pompa deve cederle in ogni secondo il calore che la casa disperde, cioè la potenza $P_{1} = 12 kW$ . Per una pompa di calore l’effetto utile è il calore ceduto al serbatoio caldo, perciò la potenza elettrica è $P_{1}$ divisa per l’efficienza. Il bilancio energetico del ciclo dice che il calore ceduto alla casa è la somma del calore prelevato all’esterno e del lavoro ricevuto; quindi l’aria esterna fornisce $8, 6 kW$ . La stufa elettrica, per cedere $12 kW$ , assorbe $12 kW$ dalla rete, perciò consuma 3,5 volte l’energia elettrica della pompa di calore. Il risultato è compatibile con il primo principio, poiché la maggior parte del calore ceduto alla casa viene dall’aria esterna.