Pendoli semplici per piccole oscillazioni

Il filo è inestensibile e di massa trascurabile e l’ampiezza è piccola, quindi il sistema è un pendolo semplice e si applica la formula del periodo per piccole oscillazioni, che dipende solo dalla lunghezza del filo e da $g$. Il periodo del pendolo si indica con $T_0$, perché la lettera $T$ indica il modulo della tensione del filo. La frequenza è il reciproco del periodo. Il numero di oscillazioni in un minuto è il rapporto tra $60\mathrm{s}$ e il periodo; poiché il rapporto vale $27,3$, le oscillazioni complete sono $27$.

Elevando al quadrato la formula del periodo si isola la lunghezza, quindi $\ell =\frac{g{T}_0^2}{4{\pi }^2}$, poco meno di un metro. Sulla Luna la lunghezza del filo è la stessa e cambia solo l’accelerazione di gravità. Il periodo è inversamente proporzionale a $\sqrt{g}$, perciò su un corpo celeste con gravità minore il pendolo oscilla più lentamente, con un periodo circa $2,5$ volte quello terrestre. Il rapporto tra i periodi si ottiene senza conoscere $\ell$, e fornisce un controllo del secondo risultato, poiché $2,00\cdot 2,46\mathrm{s}=4,92\mathrm{s}$.

Con l’ascensore fermo il riferimento dell’ascensore è inerziale e si applica la formula del periodo con $g$. Quando l’ascensore accelera verso l’alto, il suo riferimento non è inerziale, e nel riferimento dell’ascensore sul punto agisce anche la forza apparente $-m\vec{a}$, diretta verso il basso. Questa forza si somma al peso, quindi il pendolo si comporta come in un campo di gravità di intensità $g+a$. Il periodo $T_a$ diventa perciò più breve, perché $g_{\mathrm{eff}}$ è maggiore di $g$. Nel caso limite $a=0$ si ritrova $T_0$.

L’ampiezza di $8,0°$ corrisponde a $0,140\mathrm{rad}$, un angolo per cui $\sin \theta \approx \theta$ con ottima precisione, quindi il periodo è quello delle piccole oscillazioni. Per la velocità si usa la conservazione dell’energia meccanica, che vale perché la tensione è sempre perpendicolare alla velocità e non compie lavoro e l’attrito è trascurabile, quindi l’unica forza che compie lavoro è il peso. Il punto scende della quota $\ell (1-\cos {\theta }_0)$, e l’energia potenziale persa diventa energia cinetica. Nel punto più basso tensione e peso sono verticali e il punto percorre una circonferenza, perciò la loro risultante è la forza centripeta; da qui la tensione, che supera il peso di $0,048\mathrm{N}$. Come controllo, il moto armonico dà $v_{\max }=\omega \ell {\theta }_0=3,50\cdot 0,80\cdot 0,140m/s=0,391m/s$, in accordo con il calcolo esatto.