Esercizi svolti · Scheda 2

Oscillatori massa-molla

Teoria usata: Oscillatore massa-molla Molla verticale Molle in parallelo e in serie Velocità e accelerazione nel moto armonico Ampiezza e fase dalle condizioni iniziali

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Esercizio 1

Un corpo di massa $m = 0, 50 kg$ , appoggiato su un piano orizzontale liscio, è fissato a una molla ideale di costante elastica $k = 200 N/m$ . Il corpo viene spostato di $4, 0 cm$ dalla posizione di riposo e lasciato da fermo. Determinare la pulsazione, il periodo, la velocità massima, l’accelerazione massima e il modulo massimo della forza elastica.

m \overset{x}{¨} = - k x ⟹ ω = \frac{k}{m}, T = 2 π \frac{m}{k}

ω = \frac{200}{0 , 50} rad/s = 20 rad/s, T = \frac{2 π}{20} s = 0, 314 s

A = 0, 040 m, v_{m a x} = A ω = 0, 80 m/s, a_{m a x} = A ω^{2} = 16 m/ s^{2}

F_{m a x} = k A = 200 \cdot 0, 040 N = 8, 0 N

Il piano è liscio e il moto è orizzontale, quindi peso e reazione normale si equilibrano e lungo l’asse della molla agisce solo la forza elastica $- k x$ . Il secondo principio dà $m \overset{x}{¨} = - k x$ , che è l’equazione del moto armonico con $ω^{2} = \frac{k}{m}$ ; perciò il corpo è un oscillatore massa-molla. Il corpo parte da fermo a $4, 0 cm$ dalla posizione di riposo, quindi questo spostamento è l’ampiezza. Velocità e accelerazione massime seguono dalle formule del moto armonico. La forza elastica è massima agli estremi, dove $∣ x ∣ = A$ ; come controllo, $\frac{F _{m a x}}{m} = \frac{8 , 0}{0 , 50} m/ s^{2} = 16 m/ s^{2}$ , che coincide con $a_{m a x}$ .

Esercizio 2

Un corpo di massa $m = 0, 30 kg$ appeso a una molla ideale verticale la allunga, in equilibrio, di $Δ ℓ = 6, 0 cm$ . Determinare la costante elastica e il periodo delle oscillazioni verticali. Il corpo viene poi abbassato di altri $2, 0 cm$ e lasciato da fermo; determinare la velocità massima.

k Δ ℓ = m g ⟹ k = \frac{m g}{Δ ℓ} = \frac{0 , 30 \cdot 9 , 81}{0 , 060} N/m = 49, 1 N/m

ω = \frac{k}{m} = \frac{g}{Δ ℓ} = \frac{9 , 81}{0 , 060} rad/s = 12, 8 rad/s

T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \frac{Δ ℓ}{g} = 0, 491 s

v_{m a x} = A ω = 0, 020 \cdot 12, 8 m/s = 0, 256 m/s

A sinistra il corpo in equilibrio, con la molla allungata di

Δ ℓ

rispetto alla lunghezza a riposo; a destra le forze sul corpo: la forza elastica

k Δ ℓ

, verso l'alto, equilibra il peso

m g

In equilibrio l’accelerazione è nulla, quindi la forza elastica, che vale $k Δ ℓ$ ed è diretta verso l’alto, equilibra il peso; da questa condizione si ricava $k$ . Per il teorema sulla molla verticale il corpo oscilla attorno alla posizione di equilibrio con la stessa pulsazione della molla orizzontale, e poiché $\frac{k}{m} = \frac{g}{Δ ℓ}$ il periodo si calcola dal solo allungamento statico, senza usare la massa. Il corpo viene lasciato da fermo $2, 0 cm$ sotto la posizione di equilibrio, che è il centro dell’oscillazione, quindi l’ampiezza è $2, 0 cm$ , e la velocità massima è $A ω$ . L’allungamento totale di $8, 0 cm$ non è l’ampiezza, perché è misurato dalla lunghezza a riposo.

Esercizio 3

Due molle ideali di costanti $k_{1} = 300 N/m$ e $k_{2} = 600 N/m$ sostengono un corpo di massa $m = 2, 0 kg$ che oscilla su un piano orizzontale liscio. Calcolare il periodo quando le molle sono collegate in parallelo e quando sono collegate in serie, e il rapporto tra i due periodi.

k_{p} = k_{1} + k_{2} = 900 N/m, k_{s} = \frac{k _{1} k _{2}}{k _{1} + k _{2}} = \frac{300 \cdot 600}{900} N/m = 200 N/m

T_{p} = 2 π \frac{m}{k _{p}} = 2 π \frac{2 , 0}{900} s = 0, 296 s

T_{s} = 2 π \frac{m}{k _{s}} = 2 π \frac{2 , 0}{200} s = 0, 628 s

\frac{T _{s}}{T _{p}} = \frac{k _{p}}{k _{s}} = \frac{900}{200} = 2, 12

Due molle in parallelo hanno lo stesso allungamento e le loro forze si sommano, quindi equivalgono a una molla di costante $k_{1} + k_{2}$ . Due molle in serie sono attraversate dalla stessa forza e i loro allungamenti si sommano, quindi equivalgono a una molla di costante $\frac{k _{1} k _{2}}{k _{1} + k _{2}}$ , minore di entrambe. Con la costante equivalente il sistema è un oscillatore massa-molla, perciò il periodo è $2 π \frac{m}{k}$ . Il periodo è inversamente proporzionale alla radice di $k$ , quindi il collegamento in serie, più cedevole, dà il periodo più lungo, circa $2, 1$ volte quello in parallelo.

Esercizio 4

Un corpo di massa incognita attaccato a una molla ideale oscilla su un piano orizzontale liscio con periodo $T_{1} = 0, 60 s$ . Aggiungendo al corpo una massa $Δ m = 0, 20 kg$ , il periodo diventa $T_{2} = 0, 75 s$ . Determinare la massa del corpo e la costante elastica della molla.

T_{1}^{2} = 4 π^{2} \frac{m}{k}, T_{2}^{2} = 4 π^{2} \frac{m + Δ m}{k} ⟹ \frac{T _{2}^{2}}{T _{1}^{2}} = \frac{m + Δ m}{m}

m = \frac{Δ m}{\frac{T _{2}^{2}}{T _{1}^{2}} - 1} = \frac{0 , 20}{( \frac{0 , 75}{0 , 60} ) ^{2} - 1} kg = \frac{0 , 20}{0 , 5625} kg = 0, 356 kg

k = \frac{4 π ^{2} m}{T _{1}^{2}} = \frac{4 π ^{2} \cdot 0 , 356}{0 , 6 0 ^{2}} N/m = 39, 0 N/m

Il periodo dell’oscillatore massa-molla è $2 π \frac{m}{k}$ , quindi il suo quadrato è proporzionale alla massa. La molla è la stessa nelle due misure, perciò dividendo le due relazioni la costante $k$ si semplifica e resta un’equazione nella sola massa $m$ . Nota la massa, la costante elastica si ricava dalla prima relazione. Come controllo, con la massa totale $0, 556 kg$ si ottiene $2 π \frac{0 , 556}{39 , 0} s = 0, 75 s$ , che è il secondo periodo misurato. Il metodo non richiede il peso del corpo, quindi funziona anche in assenza di gravità.