Esercizi svolti · Scheda 1

Leggi orarie del moto armonico

Teoria usata: Moto armonico semplice Moto periodico, periodo e frequenza Velocità e accelerazione nel moto armonico Velocità in funzione della posizione Ampiezza e fase dalle condizioni iniziali

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Esercizio 1

Un punto si muove lungo l’asse $x$ con legge oraria

x (t) = 0, 050 cos (4 π t + \frac{π}{3}),

con $x$ in metri e $t$ in secondi. Determinare ampiezza, pulsazione, periodo e frequenza, i valori massimi della velocità e dell’accelerazione, la posizione e la velocità all’istante $t = 0$ .

A = 0, 050 m, ω = 4 π rad/s, φ = \frac{π}{3}

T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{4 π} s = 0, 50 s, f = \frac{1}{T} = 2, 0 Hz

v_{m a x} = A ω = 0, 050 \cdot 4 π m/s = 0, 628 m/s

a_{m a x} = A ω^{2} = 0, 050 \cdot 16 π^{2} m/ s^{2} = 7, 90 m/ s^{2}

x (0) = A cos \frac{π}{3} = 0, 050 \cdot \frac{1}{2} m = 0, 025 m

v (0) = - A ω sin \frac{π}{3} = - 0, 628 \cdot \frac{3}{2} m/s = - 0, 544 m/s

Legge oraria con

x

in centimetri e

t

in secondi: il punto parte da

x (0) = 2, 5 cm

verso valori decrescenti e compie due oscillazioni al secondo

La legge oraria ha la forma $A cos (ω t + φ)$ del moto armonico semplice, quindi ampiezza, pulsazione e fase iniziale si leggono direttamente, poiché il coefficiente del coseno è $A$ , il coefficiente di $t$ è $ω$ e il termine costante dell’argomento è $φ$ . Il periodo è $\frac{2 π}{ω}$ e la frequenza è il suo reciproco. Derivando la legge oraria si ottengono $v = - A ω sin (ω t + φ)$ e $a = - A ω^{2} cos (ω t + φ)$ ; poiché seno e coseno hanno valore massimo $1$ , i moduli massimi sono $A ω$ e $A ω^{2}$ . All’istante $t = 0$ l’argomento vale $\frac{π}{3}$ , perciò il punto si trova in $x = 0, 025 m$ , a metà dell’ampiezza, e ha velocità negativa, cioè si sta muovendo verso l’origine.

Esercizio 2

Un corpo compie un moto armonico semplice. Nel passaggio per la posizione di equilibrio la sua velocità ha modulo $0, 60 m/s$ , e nei punti di inversione la sua accelerazione ha modulo $7, 2 m/ s^{2}$ . Determinare la pulsazione, l’ampiezza, il periodo e il modulo della velocità nella posizione $x = 0, 030 m$ .

v_{m a x} = A ω, a_{m a x} = A ω^{2}

ω = \frac{a _{m a x}}{v _{m a x}} = \frac{7 , 2}{0 , 60} rad/s = 12 rad/s, A = \frac{v _{m a x}}{ω} = \frac{0 , 60}{12} m = 0, 050 m

T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{12} s = 0, 524 s

∣ v ∣ = ω A^{2} - x^{2} = 12 0, 05 0^{2} - 0, 03 0^{2} m/s = 12 \cdot 0, 040 m/s = 0, 48 m/s

Nel moto armonico la velocità è massima nel passaggio per l’equilibrio e l’accelerazione è massima nei punti di inversione $x = \pm A$ , quindi i due dati sono $A ω$ e $A ω^{2}$ . Il rapporto tra le due espressioni elimina $A$ e fornisce $ω$ ; nota la pulsazione, l’ampiezza si ricava da $v_{m a x} = A ω$ . Per la velocità in una posizione assegnata si usa la relazione $∣ v ∣ = ω A^{2} - x^{2}$ , che lega velocità e posizione senza passare per l’istante. Perciò nella posizione $x = 0, 030 m$ il corpo ha velocità di modulo $0, 48 m/s$ . Come controllo dimensionale, $\frac{m/ s ^{2}}{m/s} = s^{- 1}$ , che è l’unità di una pulsazione.

Esercizio 3

Un punto in moto armonico con pulsazione $ω = 5, 0 rad/s$ si trova all’istante $t = 0$ nella posizione $x_{0} = 0, 040 m$ con velocità $v_{0} = 0, 15 m/s$ . Scrivere la legge oraria.

A = x_{0}^{2} + \frac{v _{0}^{2}}{ω ^{2}} = 0, 04 0^{2} + (\frac{0 , 15}{5 , 0})^{2} m = 0, 0016 + 0, 0009 m = 0, 050 m

⎩ ⎨ ⎧ cos φ = \frac{x _{0}}{A} = \frac{0 , 040}{0 , 050} = 0, 80 sin φ = - \frac{v _{0}}{A ω} = - \frac{0 , 15}{0 , 050 \cdot 5 , 0} = - 0, 60 ⟹ φ = - 0, 644 rad

x (t) = 0, 050 cos (5, 0 t - 0, 644) m

La legge oraria è $x (t) = A cos (ω t + φ)$ e la pulsazione è nota, quindi restano da determinare $A$ e $φ$ con le condizioni iniziali. Imponendo $x (0) = A cos φ = x_{0}$ e $v (0) = - A ω sin φ = v_{0}$ e sommando i quadrati si ottiene l’ampiezza, che vale $0, 050 m$ . La fase deve soddisfare insieme le due condizioni del sistema; il coseno positivo e il seno negativo individuano un angolo del quarto quadrante, quindi $φ = - arccos (0, 80) = - 0, 644 rad$ . Come controllo, $x (0) = 0, 050 \cdot 0, 80 m = 0, 040 m$ e $v (0) = - 0, 050 \cdot 5, 0 \cdot (- 0, 60) m/s = 0, 15 m/s$ , come richiesto.

Esercizio 4

Un punto oscilla di moto armonico con ampiezza $A = 0, 10 m$ e periodo $T = 1, 2 s$ , e all’istante $t = 0$ parte da fermo dalla posizione $x = A$ . Determinare il primo istante in cui il punto passa per $x = - \frac{A}{2}$ e la sua velocità in quell’istante.

ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{1 , 2} rad/s = 5, 24 rad/s, x (t) = A cos (ω t)

A cos (ω t) = - \frac{A}{2} ⟺ cos (ω t) = - \frac{1}{2}, ω t_{1} = \frac{2 π}{3}

t_{1} = \frac{2 π}{3 ω} = \frac{T}{3} = 0, 40 s

v (t_{1}) = - A ω sin \frac{2 π}{3} = - 0, 10 \cdot 5, 24 \cdot \frac{3}{2} m/s = - 0, 453 m/s

Il punto parte da fermo dall’estremo $x = A$ , quindi $x_{0} = A$ e $v_{0} = 0$ ; per le condizioni iniziali la fase iniziale è $φ = 0$ e la legge oraria è $A cos (ω t)$ . L’equazione $cos (ω t) = - \frac{1}{2}$ ha infinite soluzioni; per $0 \leq ω t \leq π$ il coseno decresce da $1$ a $- 1$ , perciò la prima soluzione positiva è $ω t = \frac{2 π}{3}$ , cioè un terzo del periodo. La velocità si ottiene dalla derivata della legge oraria ed è negativa, perché nella prima metà del periodo il punto va dall’estremo positivo verso quello negativo. Come controllo, $ω A^{2} - x^{2} = 5, 24 \cdot 0, 0100 - 0, 0025 m/s = 0, 453 m/s$ , che coincide con il modulo trovato.