Esercizi svolti · Scheda 2

Corpi in equilibrio appesi a fili

Teoria usata: Equilibrio del punto materiale Tensione di un filo Tensione lungo un filo ideale Carrucola ideale Principio di sovrapposizione delle forze Diagramma di corpo libero

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Esercizio 1

Una lampada di massa $m_{1} = 3, 0 kg$ è appesa al soffitto con un filo verticale. Alla lampada è appesa, con un secondo filo verticale, una seconda lampada di massa $m_{2} = 2, 0 kg$ . I fili sono ideali e il sistema è in quiete. Calcolare la tensione dei due fili.

lampada inferiore: T_{2} - m_{2} g = 0 ⟹ T_{2} = m_{2} g

lampada superiore: T_{1} - T_{2} - m_{1} g = 0 ⟹ T_{1} = (m_{1} + m_{2}) g

T_{2} = 2, 0 kg \cdot 9, 81 m/ s^{2} = 19, 6 N, T_{1} = 5, 0 kg \cdot 9, 81 m/ s^{2} = 49, 1 N

Si scrive la condizione di equilibrio per ciascuna lampada, con l’asse verticale orientato verso l’alto. Sulla lampada inferiore agiscono il peso e la tensione del filo inferiore, quindi $T_{2} = m_{2} g$ . Sulla lampada superiore agiscono il peso, la tensione $T_{1}$ del filo superiore, verso l’alto, e la tensione $T_{2}$ del filo inferiore, che tira verso il basso.

Il filo inferiore è ideale, perciò tira la lampada superiore con la stessa tensione $T_{2}$ con cui sostiene quella inferiore. Ne segue che il filo superiore regge il peso di entrambe le lampade, $49, 1 N$ . Lo stesso risultato si ottiene considerando le due lampade e il filo inferiore come un unico corpo di massa $5, 0 kg$ , sul quale la tensione $T_{2}$ è una forza interna.

Esercizio 2

Un quadro di massa $m = 6, 0 kg$ è appeso a un chiodo mediante un filo ideale, fissato ai due lati della cornice, che passa sul chiodo senza attrito; i due tratti di filo sono simmetrici e formano ciascuno un angolo di $6 0^{\circ}$ con l’orizzontale. Calcolare la tensione del filo. Calcolare poi la tensione se il filo viene accorciato in modo che i due tratti formino un angolo di $1 0^{\circ}$ con l’orizzontale.

{T cos θ - T cos θ = 0 2 T sin θ - m g = 0 ⟹ T = \frac{m g}{2 sin θ}

θ = 6 0^{\circ} : T = \frac{6 , 0 kg \cdot 9 , 81 m/ s ^{2}}{2 \cdot 0 , 866} = \frac{58 , 9 N}{1 , 732} = 34, 0 N

θ = 1 0^{\circ} : T = \frac{58 , 9 N}{2 \cdot 0 , 1736} = 170 N

Si tratta il quadro come un punto materiale. Su di esso agiscono il peso e le tensioni dei due tratti di filo, dirette lungo i tratti verso il chiodo, dove le rette d’azione delle tre forze si incontrano. Poiché il filo è ideale e passa sul chiodo senza attrito, i due tratti hanno la stessa tensione $T$ . Le componenti orizzontali delle due tensioni hanno lo stesso modulo $T cos θ$ e versi opposti, quindi la prima equazione è soddisfatta per ogni valore di $T$ . Le componenti verticali sono entrambe verso l’alto, e la loro somma $2 T sin θ$ equilibra il peso.

Con i tratti a $6 0^{\circ}$ la tensione è $34, 0 N$ , poco più della metà del peso. Con i tratti a $1 0^{\circ}$ il seno è molto più piccolo, quindi la tensione sale a $170 N$ , quasi tre volte il peso. Nel caso limite $θ \to 0$ la tensione tenderebbe all’infinito, perciò un filo teso in orizzontale non può sostenere un peso.

Esercizio 3

Un semaforo di massa $m = 10 kg$ è sostenuto da due cavi ideali fissati a due pali. Il cavo di sinistra forma un angolo di $3 0^{\circ}$ con l’orizzontale, quello di destra un angolo di $6 0^{\circ}$ . Calcolare le tensioni $T_{1}$ (cavo di sinistra) e $T_{2}$ (cavo di destra).

{T_{2} cos 6 0^{\circ} - T_{1} cos 3 0^{\circ} = 0 T_{1} sin 3 0^{\circ} + T_{2} sin 6 0^{\circ} - m g = 0

T_{2} = T_{1} \frac{cos 3 0 ^{\circ}}{cos 6 0 ^{\circ}} = 3 T_{1}

T_{1} \cdot \frac{1}{2} + 3 T_{1} \cdot \frac{3}{2} - m g = 0 ⟹ 2 T_{1} = m g ⟹ T_{1} = \frac{m g}{2}

T_{1} = \frac{10 kg \cdot 9 , 81 m/ s ^{2}}{2} = 49, 1 N, T_{2} = 3 \cdot 49, 05 N = 85, 0 N

Forze sul semaforo, con le frecce in scala (

25 N

per unità): le componenti orizzontali di

T_{1}

T_{2}

sono uguali e opposte

Sul semaforo agiscono il peso e le tensioni dei due cavi, ciascuna diretta lungo il proprio cavo verso il palo. Si sceglie l’asse $x$ orizzontale verso destra e l’asse $y$ verticale verso l’alto. La tensione $T_{1}$ ha componenti $(- T_{1} cos 3 0^{\circ}, T_{1} sin 3 0^{\circ})$ , la tensione $T_{2}$ ha componenti $(T_{2} cos 6 0^{\circ}, T_{2} sin 6 0^{\circ})$ . Il semaforo è in quiete, quindi la risultante è nulla e le due componenti forniscono un sistema lineare nelle incognite $T_{1}$ e $T_{2}$ .

Dalla prima equazione si ricava $T_{2}$ in funzione di $T_{1}$ ; sostituendo nella seconda si ottiene $T_{1} = \frac{m g}{2} = 49, 1 N$ e quindi $T_{2} = 85, 0 N$ . Il cavo più vicino alla verticale regge la tensione maggiore. Come controllo, i due cavi sono perpendicolari, perché $3 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ , perciò le tensioni sono le proiezioni del peso sulle due direzioni: $T_{1} = m g sin 3 0^{\circ}$ e $T_{2} = m g cos 3 0^{\circ}$ , in accordo con i valori trovati.

Esercizio 4

Un carico di massa $m = 20 kg$ è appeso a una carrucola mobile. Il filo che sostiene la carrucola mobile ha un estremo fissato al soffitto, passa sotto la carrucola mobile, poi su una carrucola fissa al soffitto, e l’altro estremo viene tirato verso il basso da un operaio. Fili e carrucole sono ideali e i tratti di filo che sostengono la carrucola mobile sono verticali. Calcolare la forza che l’operaio deve esercitare per sollevare il carico a velocità costante e quella necessaria per sollevarlo con accelerazione $a = 0, 50 m/ s^{2}$ verso l’alto.

2 T - m g = m a ⟹ T = \frac{m ( g + a )}{2}

a = 0 : T = \frac{20 kg \cdot 9 , 81 m/ s ^{2}}{2} = 98, 1 N

a = 0, 50 m/ s^{2} : T = \frac{20 kg \cdot 10 , 31 m/ s ^{2}}{2} = 103 N

Si considera come corpo l’insieme del carico e della carrucola mobile, che ha massa trascurabile. Su di esso agiscono il peso del carico e due forze verso l’alto, una per ciascun tratto di filo che passa sotto la carrucola. Il filo è ideale e le carrucole sono ideali, quindi la tensione è la stessa $T$ in ogni tratto, compreso quello tirato dall’operaio; perciò la forza dell’operaio è proprio $T$ .

A velocità costante l’accelerazione è nulla e il secondo principio si riduce all’equilibrio $2 T = m g$ , quindi l’operaio esercita metà del peso, $98, 1 N$ . Con accelerazione verso l’alto la risultante deve valere $ma$ , perciò la forza sale a $103 N$ . La carrucola fissa cambia solo la direzione della forza, permettendo all’operaio di tirare verso il basso.